2020年阿拉伯数学奥林匹克

1. (a) ，，，为正实数，满足．求证：

(b) 对于任意正实数，，，，求证：

1. 

2. 为斜三角形，为过顶点的高的垂足．设为中点，为中点，为中点．过点且和在点处相切的圆和过点且和在点处相切的圆交于另一点，求证：，，三点共线．

3. 五名青年，，，，参加某个比赛，将他们按照成绩进行排名，依次为第一名到第五名．比赛前，和两人试图猜测排名．认为排名是，认为排名是．比赛结束后，根据最终排名，我们发现：没有正确猜出任何参与者的排名，且没有正确猜出任何一对排名相邻的参与者；正确猜出两名参与者的排名，以及两对排名相邻的参与者．请给出本次比赛的五名青年的最终排名．

4. 称某个大于的整数为“算术的”，如果它能被写成至少两个连续正整数之和．（例如：和是“算术的”，因为，．）

（1）证明的任意正整数次幂都不是“算术的”；
（2）证明形如的数是“算术的”，其中，，，，为素数，满足，，，，为正整数，为非负整数；
（3）求出所有将写成至少两个连续正整数之和的方法．