单墫教授一道不等式的另证及推广

近段时间没怎么做题，今晚翻看各公众号的题目，发现单墫教授发的一道不等式难题：

设，，，．求证：

不少老师给出了证明，见文末链接．

看到本题，我首先想到了2019年的巴尔干数学奥林匹克第2题，并以此为引理完成了证明．

以下为我的做法：

证明： 若，，均大于，则，矛盾！故不妨设．

先证明一个引理：（2019年巴尔干数学奥林匹克）

实数，，满足，且．则．

引理的证明：

同上可知，则

记，则上式变为：

这是一个关于的二次不等式．考虑二次方程

其两根一正一负，设正根为，则，待证式等价于，故只需证明：

即证，显然成立．

回到原题．

因此有

故只需证：

即

最后给出此不等式的一个加强，欢迎读者交流：

设，，，，．求证：