2024年西班牙数学奥林匹克

\section*{2024年西班牙数学奥林匹克}\begin{flushright} 程国根\quad 译\end{flushright}\section*{第一天}\ex $2024$个不同的素数$p_{1},p_{2},\cdots,p_{2024}$满足条件：$$p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{1012}=p_{1013}+p_{1014}+\cdots+p_{2024}.$$设$A=p_{1}p_{2}\cdots p_{1012}$，$B=p_{1013}p_{1014}\cdots p_{2024}$．求证：$|A-B|\ge 4$．\vfill\ex 给定正整数$n$，实数$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}>1$满足$x_{1}x_{2}\cdots x_{n}=n+1$．求证：\begin{small}$$\left(\frac{1}{1^2(x_1-1)}+1\right)\left(\frac{1}{2^2(x_2-1)}+1\right)\cdots\left(\frac{1}{n^2(x_n-1)}+1\right)\geq n+1,$$\end{small}并说明等号何时成立．\vfill\ex 设$\triangle ABC$为不等边三角形，$P$为三角形内部一点，满足$\angle PBA=\angle PCA$．直线$PB$和$\angle BAC$的内角平分线交于点$Q$，直线$PC$和$\angle BAC$的外角平分线交于点$R$．点$S$满足$CS\parallel AQ$，$BS\parallel AR$．求证：$Q,R,S$三点共线．\vfill\section*{第二天}\ex 实数$a,b,c,d$满足$$abcd=1,a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}+c+\frac{1}{c}+d+\frac{1}{d}=0.$$求证：$ab,ac,ad$中至少一个等于$-1$．\vfill\ex 给定平面上的两点$p_{1}=(x_{1},y_{1}),p_{2}=(x_{2},y_{2})$，用$\mathcal{R}(p_1,p_2)$表示边与坐标轴平行、且以$p_1$和$p_2$为对角顶点的矩形，即\begin{scriptsize}$$\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\mid\min\{x_1, x_2\}\leq x\leq \max\{x_1, x_2\},\min\{y_1, y_2\}\leq y\leq \max\{y_1, y_2\}\}.$$\end{scriptsize}若对所有的点集$\mathcal{S}\subset\mathbb{R}^2$，且$|\mathcal{S}|=2024$，都存在两点$p_1, p_2\in\mathcal{S}$，使得$|\mathcal{S}\cap\mathcal{R}(p_1, p_2)|\geq k$，求$k$的最大可能值．\vfill\ex 设$a,b,n$为正整数，满足$bn$整除$an-a+1$，记$\alpha=\frac{a}{b}$．求证：$\lfloor\alpha\rfloor,\lfloor2\alpha\rfloor,\dots,\lfloor(n-1)\alpha\rfloor$除以$n$的余数是$1,2,\cdots,n-1$的一个排列．\vfill