第一天

1. 在中，，点和点分别在线段和上（异于端点）．点满足，．点在外接圆的不含点的弧上（异于、）．设直线和的外接圆另一个交点为．求证：．

2. 函数：满足对任意正实数，存在正实数，使得

   且符合要求的的个数是有限的．求证：对任意正实数，都有．

3. 为奇素数，设为集合的全体元素之和为的倍数的子集个数．求证：若-1不为的倍数，则对任意整数，存在无穷多个正整数，使得

第二天

4. 求所有正整数，使得没有大于的素因子．

5. 给定正整数，和个盒子，，．按照下述规则在盒子中放入小球：选择两个正整数，在满足的每个盒子中各放入一个小球．
   设开始时每个盒子中的小球数依次为，，，均为正整数．设将每个盒子中的小球数量均变为的倍数所需要的最小操作次数为．对所有不同的初始状态，求的最大值．
   （若，，均为的倍数，则．）

6. 对正整数和实数，，，，，，求证：

   

   其中，对，．