从布洛卡角的两个性质到两道早年IMO试题

在给学生讲三角函数与解三角形时，我给学生介绍了布洛卡(Brocard)点的概念及两个和布洛卡角有关的三角恒等式：

内部一点满足，则称为的布洛卡点，为的布洛卡角．

注： 满足的点也称为的布洛卡点，一般以第一、第二区分．

下面介绍布洛卡点的两个最基本性质：

证明：

同理，．

于是

同理，．

由

两边同除以即证．

证明：

证毕．

下面我们来看两道早期的IMO题．

首先是1961年第三届IMO的第一天第2题，此题也是著名的外森比克不等式：

设、、为三角形的三边，其面积为．求证：，并说明何时取等号．

证明：

由海伦公式：

其中知：

故只需证：

不等式显然成立．等号成立当且仅当，即为等边三角形．

注意到在布洛卡角的性质二中，我们有．

于是此不等式等价于，即布洛卡角．

下面我们再看1991年第三十二届IMO第二天第2题．

在中，内部一点．证明：在，和中至少有一个角不超过．

再看这题，立马能反应过来和布洛卡角有关．

证明：

作出的布洛卡点，并设．

由上知：．

现在将放入中，则必在、、之一的内部（包含边界）．

不妨设在内部，则，证毕．

用上面的结论，此题轻松地得到了解决．

两道相隔近30年的IMO试题，通过布洛卡角竟产生了如此美妙的关联．