2025年MEMO团体赛第1题及解答

上午刚看到的题，感谢赵力博士的翻译。第1题比较简单，很快就做出来了，顺手写一下。

题目：（2025年MEMO团体赛第1题）

Bob 有枚硬币，其面值分别为正整数

他站在一台自动售货机前，售货机提供几种糖果，其价格分别为正整数．Bob 注意到对于每个，都有

此外，Bob的硬币总价值等于所有糖果成本的总和．糖果可以以任意顺序购买．为了购买第种糖果，Bob必须插入总价值至少为的硬币．然而，售货机不会找零．证明：Bob可以购买至少一半的糖果．

解答：

将排列为

则，

结合知：，．

取得，．

若存在，使得，则

于是

矛盾！于是，都有

于是用面值为的硬币可以买价格为的糖果，用面值为和的硬币可以买价格为的糖果（）．

这样，用不同的硬币共可以买到价格为的糖果，总数为．