2026年高联B卷几何命题思路分析：如何尺规作图作出更接近√π的长度

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若以尺规作图为出发点，首先要选定一个可作的目标长度。

尺规可构造数一定是代数数，而 是超越数，因此 不能被尺规精确作出。一个自然的办法，是先取优良的有理逼近 ，再作出 。

是 的连分数收敛分数；紧随其后的部分商 很大，所以它的逼近精度格外高。事实上，

于是，把 作为尺规目标十分合适。

令

这个恒等式给出了构图的次序：先作 ，再作 ；分别完成一次平方减法和平方加法；最后乘 ，并取两段长度之比。

一、作出母长度

由

可先取 为共同基准。

作半径为 的圆，取直径 ，圆心为 ；在 上取 ，使 。过 作 的垂线交圆于 ，则 。

再以 为圆心、为半径作圆，与原圆交于 。因为 是直径，

故 。

二、作出与

有了 ，接下来只需作两个有理倍数。

由于 是 的中点，过 作 的平行线交 于 ，由相似三角形得

所以 。

又因为 ，有 。过 作 的平行线交 于 ，则

点 在这里恰好兼顾了根式构造和分点比例。

三、分别构造两个根式

现在需要作出

在原圆上取 ，使 。由于 是直径，，故

再在 点作圆的切线，并在切线上截取 。由 ，有

四、完成最后的比例合成

此时

还需补上因子 。

取 的中点 ，则 。在 上截取 ，连接 ，过 作 的平行线交 于 。

由 ，

至此，完整构型得到，这就是今年高中数学联赛B卷的几何题。

原题

如图，设 是半径为 的圆 的直径，点 是线段 的中点，线段 上的点 满足 。圆周上的点 满足 ，且 。

弦 上的点 满足 。圆周上的点 满足 。直线 是圆的切线且 。弦 上的点 满足 ，线段 上的点 满足 。

证明

思路分析

若从题面正向求解，最直接的入口在最后一组平行线。

由 可得 ，于是

而 ，所以问题归结为求 与 。

这两段长度分别来自两个直角三角形。在以 为直径的圆上，故

是 点切线，故

题设又把 分别转成 ，因此只需回到弦 上求出这两段分点长度。

最后利用 ，可由 的相似关系得到

而 由最前面的单位圆数据确定：给出 ，再由 和 得 。

因此整条长度链为

完整过程

圆半径为 ，故 。由 得 。

在直角三角形 中，

又 ，故 。由于 是直径，，从而

由 得 。又因 且 ，有 ，故 。于是

点 在以 为直径的圆上，所以

而 是圆在 点的切线，故 ，于是

又因 是 的中点，

由 ，，故

证毕。

总结

从命题角度看，先决定两个勾股关系和共有的 ，的比例继而确定 的位置，中点 再补上最后的 。

整张图正是把这串代数关系逐项翻译成圆、平行线、切线和相似三角形。