用Dumpty点的性质证明一道平面几何新题

首先简单介绍Dumpty点（熟悉的读者可以直接看后面的题目）：

点在内部，且满足，则称点为的-Dumpty点，简称DM点．

点具有以下性质：

1. 点为外心在-陪位中线上的射影；

2. 四点共圆；

3. 过作外接圆的切线，和交于点，则三点共线．

证明：

1. 延长交于点．由，知：

于是，即为调和四边形，为-陪位中线．

由，熟知为中点（2011年高联），于是．

于是，四点共圆．

3. 设和交于点（异于点），则

由及射影定理知：，于是，即三点共线．

点的等角共轭点Humpty点（简称HM）点也很有名，其为垂心在中线上的射影．

下面用Dumpty点的性质来证明一道几何题：

在锐角中，分别为边的中点．点在线段上，且．设为和的交点，为和的交点．设和的外接圆交于点（异于点），点为的中点．求证：．（2024年伊比利亚美洲数学奥林匹克）

证明：

易证和关于点位似，位似比为．由为中点知，为位似对应点，故．

只需证明：（其中为外心），即四点共圆．

由Dumpty点的性质，转证：．

删去无关的点和线后，得到下图：

由相交两圆的性质，容易发现：．

由分别为中点和相似对应，只需证：．

而这用和截的梅涅劳斯定理是显然的，证毕．