2023年阿里巴巴数学竞赛决赛最简单一题

题目1：（2023年阿里巴巴数学竞赛决赛 分析与方程赛道 第1题）

考虑序列，．证明对所有正整数都有．

证明：

由题意知：

由于

于是对，

即，，而，证毕．

注： 也可以归纳证明：，这样无需使用巴塞尔级数，是一个纯初等证明方法．

下面是两道类似题：

题目2：（2001年西部数学奥林匹克 第1题）

设数列满足，，．求证：．

注： 本题可加强到．

题目3：（2012年西部数学奥林匹克 第6题）

设数列满足，，．求所有的整数，使得．