本届命题工作研讨会上我分享的题目

题目1：

给定正整数，实数．记，求的最大值．

解答：

记．由对称性，不妨设

并记，，则．于是

固定，则，，于是

（1）当为偶数时，在时，取得最大值，取等：中，一半为，另一半为；

（2）当为奇数时，在时，取得最大值，取等：中，个为，个为．

注1：

（1）在变形时，我们把前项之和与后项之和记为与，并分别求出它们的最大值与最小值（取决于前面系数的正负），这样的放缩是容易取得等号的．但如果记前项之和为，将表示为与的线性组合，则无法进行后续放缩．

（2）本题是如下问题的简单版本：

题目2：

给定正整数，实数．记，求证：

证明：

不妨设，．记，，则．于是

注意这里的本身有范围，且是二次，若换成会比较复杂．我们选择消去或．当然也要注意到，．

在操作过程中，会发现：后续放缩会与系数的正负有关系，于是我们进行分类讨论．

（1）时，，于是，，因此有

（2）时，有，结合，有

综上即证．

注2:

本题为2024年4月第15届XMO代数题中的引理，这里对字母做了一些修改，使之成为一道完整题目．在讲完本题后，我把次数从二次改为了一次，并对系数略作调整，得到的题目难度降低不少，适合学生作为练习。

这就是本届命题工作研讨会上我所分享的题目。