平移、投影与Cauchy：一类二次型不等式的处理方法
许多加权二次型不等式虽然具有较复杂的系数形式，其主要结构通常由
等少数几个量决定．处理此类问题的关键，在于识别待证式所依赖的方向，并对常数方向与权方向作适当的正交分解． 当权 构成等差数列，或关于中点具有成对对称性时，权的中心化会自然引出；若相应二次型在某一方向上具有平移不变性，还可进一步施加适当的归一化条件． 经过这些处理，原问题常可化为一次 Cauchy 不等式或低维二次型的非负性问题．
本文按照“中心化 平移归一化 正交投影”的顺序展开． 首先建立中心化 Cauchy 不等式，并给出共同平移下施加 归一化条件的严格前提； 随后讨论沿任意方向的平移不变性，并借助二阶、三阶 Gram 行列式说明其投影结构． 最后通过三道例题分别讨论整体平移不变、沿常数方向完成平方以及投影后处理最优参数三类情形．
除特别说明外，本文中的变量均为实数．
中心化 Cauchy 与常数方向的正交分解
设
则
且由于 ，有
对两个中心化后的向量应用 Cauchy，即得下述结论．
性质 1（中心化 Cauchy）．若 不全相等，则对任意 ，
等号成立当且仅当存在实数 ，使
证明．由 Cauchy，
代入前面的恒等式即可．
Cauchy 取等的条件为
即 ．
评注．若记
则 ，而性质 1 可写成
因此，权的中心化等价于将常数向量与权向量正交化．
共同平移与归一化条件
把所有变量同时加上同一个实数 ：
由
可见，这个方差型二次式在共同平移下保持不变．若 ，则
也保持不变．因此，若待证式由这类平移不变量组成，整个待证式就在共同平移下不变．
性质 2（共同平移下的归一化）．设要证明的命题等价于
并且
若变量的定义域在共同平移下也保持不变，则可在证明中施加归一化条件
证明．取
平移后的变量仍在定义域内，且变量和为 ；由平移不变性，待证式的值没有改变．
评注．上述归一化须同时满足两个前提：整个待证式在共同平移下保持不变，且变量的定义域在该平移下保持封闭． 例如，当题目要求 时，将平均值平移至 后一般不能保证各变量仍为正数，因此不能据此施加 的归一化条件．
从向量角度看，
共同平移不改变该量，其原因在于该量仅由 在 上的正交投影决定． 归一化条件 在几何上相当于沿 方向将 平移至 ．
任意方向的平移不变性与正交投影
共同平移是沿 方向移动．更一般地，固定非零向量 ，定义
直接展开可得
另一方面，
因此 只由 在 上的投影决定．
若整个待证式在
下不变，变量的定义域也沿该方向保持不变，且需要将线性量 化为 ，只要 ，就可取
共同平移对应于 的特殊情形．
评注．若仅有待证式中的某一部分（例如 ）在 方向的平移下保持不变， 则该局部不变性不足以支持对整个命题施加归一化条件．此时仍可作换元 以化简 ，同时须对其余各项作相应改写． 例 3 属于此类情形．
投影 Cauchy 与 Gram 行列式
先回顾二阶情形．若
则 Lagrange 恒等式给出
恒等式右端为平方和，故其非负性即给出 Cauchy；左端同时等于二阶 Gram 行列式
因此，Lagrange 恒等式、二阶 Gram 行列式的非负性与 Cauchy 不等式分别给出了同一非负结构的平方和表示、行列式表示与不等式表示．
以下固定非零向量 ，把 都投影到 ：
对 应用 Cauchy，可得如下投影形式．
性质 3（投影 Cauchy）．对任意向量 与非零向量 ，
等号成立当且仅当 线性相关．
证明．由投影公式，
将这三式代入 即得结论． 取等时 线性相关，这等价于 线性相关．
评注．若记三阶 Gram 行列式
则把前两行、列中沿 的分量消去，可得
性质 3 两端之差等于 ．若把三个向量写成 中的坐标，Cauchy–Binet 公式还给出
$$D= \sum\limits_{1\le i<j<k\le m}="" \begin{vmatrix}="" x_i&x_j&x_k\\="" u_i&u_j&u_k\\="" v_i&v_j&v_k="" \end{vmatrix}^{\!2},="" $$="" 其中 时右边为空和 ．因此，二阶与三阶 Gram 行列式均可表示为相应子式的平方和；在本文所涉及的情形中，其不等式内容可统一归结为对正交投影应用 Cauchy．对 ，取
并记
利用
性质 3 化为
此时 线性无关，故等号成立当且仅当
例 1：共同平移的应用
题目．（1999 年 CTST） 设 为正整数，是实数．证明
解．令
作上述共同平移后，有
因为 ．同时
再由
和 Cauchy，
整理即得所证不等式．
等号成立当且仅当 ，因此全部等号情形为
评注．该证明体现了性质 2 的基本用法：先沿常数方向选取满足变量和为 的代表元，再应用 Cauchy． 从中心化的角度看，也可直接将性质 1 应用于权 ．
延伸：2003 年 IMO 第 5 题．为避免与本例的参数 混淆， 把该题中的项数记为 ．题目为：设整数 ，且
证明
并证明等号成立的充要条件是 成等差数列．
由于数列已按不减次序排列，
而
权 的和为 ，且
因此，该题可直接化为性质 1．若 且令 ，则
与例 1 的权 相差常数因子 ．因此，两题所对应的中心化 Cauchy 具有相同的权结构．
例 2：沿常数方向的完成平方
题目．（2018 Balkan MO Shortlist A6） 设 为正整数，为实数．证明
分析．原不等式不具有共同平移不变性，因此不能据此施加 的归一化条件． 本题中的平移参数由关于该参数的二次式取极小值确定，其依据为完成平方． 对任意实数 ，
右端关于 的二次式在
处取得最小值．
解．取上述 ，令 ．则
并且
又有
以及
因此原不等式等价于
所得不等式即为向量
之间的 Cauchy 不等式．
等号成立时两向量成比例，因此
其中 ．
评注．上述换元沿 方向进行，其依据与性质 2 不同． 原命题在该方向上不具平移不变性；参数 由二次式的极小值条件确定，并使 化为适于应用 Cauchy 的平方和．
例 3：投影 Cauchy 与判别式
题目．（数之谜原创代数 238） 给定整数 ．求最小的实数 ，使对任意 都有
解．记
由性质 3 的特殊形式，
因此，若
对任意实数 成立，则原不等式成立．
将左端展开，并视为关于 的二次式：
由于关于 的二次项系数为正，该二次式恒非负的充要条件为判别式不大于 ．计算得
因此
时，原不等式恒成立．
为验证该下界的最优性，取
因为 是 的一次函数，性质 3 取等；并且
将这组 代入上述二次式，所得值为
当 时，该值为负，故原不等式不能对任意实数组成立．由此可知
评注．本题中的二次型
该二次型沿 方向平移不变． 原不等式整体不具此性质，故不能由此归一化为 ． 性质 3 的证明先消去有关向量在 方向上的分量，再应用 Cauchy．
方法辨析与应用步骤
上述例题均涉及沿某一方向改变变量．根据所依据的不变性或极值结构，可区分为以下三类：
整个待证式具有平移不变性．若定义域在该平移下亦保持不变，则可沿该方向选取满足附加线性条件的代表元．例 1 中的 即为此类归一化．
只有某个二次型沿特定方向不变．此时平移仅作为变量替换使用，待证式中的其余项须同步改写；例 3 属于此类情形．
待证式不具平移不变性，但可借助平移参数完成平方．例 2 中的参数 由二次式的极小值条件确定，用于将相关二次型表示为平方和．
从向量角度看，中心化
可视为对 进行一次 Gram–Schmidt 正交化．因此，权的中心化等价于消去权向量在常数方向上的分量．
此外，还可得到如下常用的降维原则．若不等式可写成
若右端仅依赖这两个线性量，则将 分解到 及其正交补后， 正交补分量只会增加左端的 ，而不改变右端．因此，在求最优常数或讨论等号条件时，可将考察范围限制为
由此也可解释中心化 Cauchy 与投影 Cauchy 的等号条件为何具有一次函数形式．
对于同时含有
的二次型不等式，可依次进行如下处理：首先将权中心化；其次检验整个命题是否具有可利用的平移不变性； 若出现 型二次式，则识别其正交投影结构；最后将问题限制在由相关方向张成的一维或二维子空间中．
综上，本文所讨论的方法可概括为：识别相关方向，实施正交分解，并在降维后应用 Cauchy．
留言
解法、疑问、勘误都可以说。公式用 LaTeX：行内
$…$，整行$$…$$。留言区还没开。想聊这道题，可以点上面的「在公众号查看原文」，到公众号那边留言。