2023年泰国数学奥林匹克

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\begin{spacing}{1.2}
\section*{2023年泰国数学奥林匹克}
\begin{flushright}
程国根\quad 译
\end{flushright}
\section*{第一天}
{\bf 1.}集合$A$由$20$个连续正整数组成，且$A$的全体元素之积、全体元素之和均不为$23$的倍数．求证：$A$的全体元素之积不为完全平方数．
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{\bf 2.}在$\triangle ABC$中，$\angle ABC=90^{\circ}$，点$D$在边$AB$上（$D\neq A,B$），点$E$在直线$AB$上，且满足$B$为$DE$中点．设$I$为$\triangle ACE$的内心，$J$为$\triangle ACD$的$A$所对的旁心．求证：$BC$的中垂线平分线段$IJ$．
\vfill
{\bf 3.}求所有函数$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$，使得对任意$x,y\in\mathbb{R}$，都有$$f(x)f(y)f(x-y)=x^2f(y)-y^2f(x).$$
\vfill
{\bf 4.}一场乒乓球比赛共有$101$名参赛选手，每两名选手恰好比赛一次．在每场比赛中，先获得$11$分者获胜，另一者负．在全部比赛结束时，已知存在比分为$11:0$和$11:10$的比赛．求证：存在三名选手A,B,C，使得A,B中的败者与A,C中的败者比分相同，但不同于B,C中败者的比分．
\vfill
{\bf 5.}设$\ell$为平面上一条直线，$90^{\circ}<\theta<180^{\circ}$．考虑满足以下条件的任意不同三点$P,Q,R$：
\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]
\item $P$在$\ell$上，且$PQ\perp\ell$；
\item $R$与$Q$在$\ell$同侧（$R$不在$\ell$上）；
\item 对$\ell$上任意两点$A,B$，若$\angle ARB=\theta$，则$\angle AQB\ge\theta$．
\end{enumerate}
求$\angle PQR$的最小值．
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\section*{2023年泰国数学奥林匹克}
\begin{flushright}
程国根\quad 译
\end{flushright}
\section*{第二天}
{\bf 6.}设$a,b,c,x,y$均为正实数，且$abc=1$．求证：
$$\frac{a^5}{xc+yb}+\frac{b^5}{xa+yc}+\frac{c^5}{xb+ya} \geq \frac{9}{(x+y)(a^2+b^2+c^2)}.$$
\vfill
{\bf 7.}设$n$为正整数，$S=\{0,1,\cdots,n\}$，定义坐标平面上的点集$$A = \{(x,y) \in S \times S \mid -1 \leq x-y \leq 1 \} $$
欲在$A$中的一些点上放置路灯，每个路灯能照亮半径为1.01单位的范围．求最小的路灯数量，使$A$中的每个点都在发光区域内．
\vfill
{\bf 8.}设$\triangle ABC$为锐角三角形，其外接圆在$A,B$处的切线交于点$T$．直线$CT$交$AB$于点$D$．记$\triangle CAD$和$\triangle CBD$的外接圆分别为$\Gamma_{1},\Gamma_{2}$．$TA$和$\Gamma_{1}$再次交于点$E$，$TB$和$\Gamma_{2}$再次交于点$F$．直线$EF$分别交$AC,BC$于点$P,Q$．求证：$EF=PQ+AB$．
\vfill
{\bf 9.}求证：存在一个无穷正整数列$\{a_{n}\}$，使得对任意正整数$k$，$a_{k}^{2}+a_{k}+2023$都至少有$k$个不同的正约数．
\vfill
{\bf 10.}为了庆祝第20届泰国数学奥林匹克，Ratchasima Witthayalai学校在Thao Suranari纪念碑周围竖起了旗子，满足如下条件：
\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]
\item 每面旗子正好用一种颜色，并且总共至少使用了$2$种不同的颜色．
\item 旗子的数量是奇数．
\item 每面旗子都在一个正多边形上，每个顶点都有一面旗子．
\item 颜色相同的旗子在同一个正多边形上．
\end{enumerate}
求证：至少存在$3$种颜色，它们的旗子数量相同．
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\end{spacing}
\end{document}