2022年新疆预赛不等式的证明

题目

若个实数，，，满足，求的最大值．
（2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛新疆赛区选拔赛第11题）

分析

证明关键是将差的绝对值放缩为平方和．利用Cauchy不等式，有．但在求等号成立条件时发现要求数列正负交错，这与为奇数矛盾．因此联想到以下关于奇数项数列的一个小结论：

引理

给定为奇数，则，，，中存在相邻两个数相等或三个数成单调子列．

引理的证明

由，知存在，使得，因此结论成立．

回到原题

不妨设，即和同号．则．
因此

在，时，等号成立，因此最大值为．

两个类似问题

设，，，，，证明：，其中，．

给定，设，求的最大值．

解答见n元不等式笔记（1）