赛题翻译
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2024年比荷卢数学竞赛
公众号原标题：2024年比荷卢数学竞赛——中文翻译
2024年比荷卢数学竞赛
程国根 译
1.
- 实数$a_{0},a_{1},\cdots,a_{2024}$满足：$|a_{i+1}-a_{i}|\le 1$，$0\le i\le 2023$．求$$a_{0}a_{1}+a_{1}a_{2}+\cdots+a_{2023}a_{2024}$$的最小值．
- 是否存在实数$C$，使得$$a_{0}a_{1}-a_{1}a_{2}+a_{2}a_{3}-a_{3}a_{4}+\cdots+a_{2022}a_{2023}-a_{2023}a_{2024}\ge C$$对任意满足：$|a_{i+1}-a_{i}|\le 1$，$0\le i\le 2023$的实数$a_{0},a_{1},\cdots,a_{2024}$都成立．
2. 设$n$为正整数．在坐标网格中，一条从$(0,0)$到$(2n,2n)$的路径包含$4n$段连续的单位步子$(0,1)$或$(1,0)$．求证：平分以$(0,0)$，$(2n,0)$，$(2n,2n)$，$(0,2n)$四点为顶点的正方形面积的不同路径的总条数为$$\frac{\binom{4n}{2n}+\binom{2n}{n}}{2}.$$
3. 设$\triangle ABC$的内心为$I$，外接圆为$\Omega$，$|AC|\neq |BC|$．$\angle CAB$的内角平分线和边$BC$交于点$D$，$\angle ABC$和$\angle BCA$的外角平分线分别和$\Omega$交于点$E$和点$F$．设直线$AE$和$FI$交于点$G$，$\triangle BDI$的外接圆为$\Gamma$．求证：点$E$在$\Gamma$上当且仅当点$G$在$\Gamma$上．
4. 对每个正整数$n$，记$\mathrm{rad}(n)$为$n$的所有不同素因子之积．求证：存在整数$a,b>1$，满足$\gcd(a,b)=1$，且$$\mathrm{rad}(ab(a+b))<\frac{a+b}{2024^{2024}}.$$例如：$\mathrm{rad}(20)=\mathrm{rad}(2^{2}\cdot 5)=2\cdot 5=10$，$\mathrm{rad}(18)=\mathrm{rad}(2\cdot 3^{2})=2\cdot 3=6$．
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\section*{2024年比荷卢数学竞赛}\begin{flushright} 程国根\quad 译\end{flushright}\ex \begin{enumerate}[label=(\arabic*)]\item 实数$a_{0},a_{1},\cdots,a_{2024}$满足：$|a_{i+1}-a_{i}|\le 1$，$0\le i\le 2023$．求$$a_{0}a_{1}+a_{1}a_{2}+\cdots+a_{2023}a_{2024}$$的最小值．\item 是否存在实数$C$，使得$$a_{0}a_{1}-a_{1}a_{2}+a_{2}a_{3}-a_{3}a_{4}+\cdots+a_{2022}a_{2023}-a_{2023}a_{2024}\ge C$$对任意满足：$|a_{i+1}-a_{i}|\le 1$，$0\le i\le 2023$的实数$a_{0},a_{1},\cdots,a_{2024}$都成立．\end{enumerate}\vfill\ex 设$n$为正整数．在坐标网格中，一条从$(0,0)$到$(2n,2n)$的\textbf{路径}包含$4n$段连续的单位步子$(0,1)$或$(1,0)$．求证：平分以$(0,0)$，$(2n,0)$，$(2n,2n)$，$(0,2n)$四点为顶点的正方形面积的不同路径的总条数为$$\frac{\binom{4n}{2n}+\binom{2n}{n}}{2}.$$\vfill\ex 设$\triangle ABC$的内心为$I$，外接圆为$\Omega$，$|AC|\neq |BC|$．$\angle CAB$的内角平分线和边$BC$交于点$D$，$\angle ABC$和$\angle BCA$的外角平分线分别和$\Omega$交于点$E$和点$F$．设直线$AE$和$FI$交于点$G$，$\triangle BDI$的外接圆为$\Gamma$．求证：点$E$在$\Gamma$上当且仅当点$G$在$\Gamma$上．\vfill\ex 对每个正整数$n$，记$\mathrm{rad}(n)$为$n$的所有不同素因子之积．求证：存在整数$a,b>1$，满足$\gcd(a,b)=1$，且$$\mathrm{rad}(ab(a+b))<\frac{a+b}{2024^{2024}}.$$\textbf{例如：$\mathrm{rad}(20)=\mathrm{rad}(2^{2}\cdot 5)=2\cdot 5=10$，$\mathrm{rad}(18)=\mathrm{rad}(2\cdot 3^{2})=2\cdot 3=6$．}\vfill
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