2022年清华大学大中衔接试题及个人思考

1. 求所有的整数𝑥，使得𝑥^(8)≡16(mod61)．

2. 是否存在首一整系数多项式𝑓(𝑥),𝑔(𝑥)，满足𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)−(𝑥^(5)−𝑥+1)的系数均为5的倍数？

3. 至少进行多少次相邻两数位置互换的操作，才能将(1,2,⋯,100)变为(2,4,⋯,100,99,97,⋯,1)？

4. 对凸𝑛边形𝐶，定义其对角线的赋值为该对角线所在直线两边𝐶的边数之差的绝对值．𝐶的一个三角剖分的权为该剖分中对角线的赋值的最小值．求所有三角剖分的权的最大值．

5. 设复数𝑧_(1),𝑧_(2),⋯,𝑧_(𝑛)的模长都不超过1．求证：

6. 设𝑝是质数，𝑓(𝑥)是整系数多项式，满足𝑓(1),𝑓(2),⋯,𝑓(𝑝)模𝑝的余数有𝑚种，其中1<𝑚<𝑝．求证：deg𝑓≥(𝑝−1)/(𝑝−𝑚)．

没有动笔，简单谈谈这几道题：（如果有错误，请指出）

1. 答案是10，12，49，51．（也就只有这题能口算一下了）

容易知道±2为模61的二次非剩余，只能有

即61∣((𝑥+1)^(2)+1)((𝑥−1)^(2)+1)
(一个经典的因式分解)

接下来就不难看出答案了．

2. 也就是考查𝑥^(5)−𝑥+1在有限域𝔽_(5)的可约性．

可见：https://zhuanlan.zhihu.com/p/486528229

（题外话：想到了好石的“经典”文章《一元五次方程实例代数解》）

3. 把(2,4,⋯,100,99,97,⋯,1)当作新的序，考虑(1,2,⋯,100)在这个序下的逆序数以及逆序列．

（在编程中应该是个入门问题）

4. 归纳就完了．

5. 陈题，AoPS上有，原题为2020年Putnam B5．

原题：

对𝑗∈{1,2,3,4}，设𝑧_(𝑗)为模长为1的复数，且𝑧_(𝑗)≠1．求证：

原题比较简单，AoPS上有人进行了推广，就是本题．

推广及解答：

6. 陈题，为2019年国际大都市数学奥林匹克（IOM）第9题的左半边．

有人觉得和2019年罗马尼亚大师赛（RMM）的最后一题有联系，不过那题我不会，也只能看出来形式上比较相似，就不多做评论了．

求所有的整数对(𝑐,𝑑)，𝑐,𝑑均大于1，且满足：
对任意一个𝑑次首一整系数多项式𝑄，以及任意一个质数𝑝>𝑐(2𝑐+1)，均存在一个元素个数不超过(2𝑐−1)/(2𝑐+1)𝑝的整数集合𝑆，使得集合

含有模𝑝的完全剩余系．

个人倒觉得这题和1997年IMO预选题中的一道题形式也挺像的，难度则是另一个极端．

设𝑓为整系数多项式，𝑝为素数，满足𝑓(0)=0，𝑓(1)=1，对任意正整数𝑘，𝑓(𝑘)≡0或1(mod𝑝)．求证：deg𝑓≥𝑝−1．