一道一试函数值域问题的不同解法

2001年全国高中数学联合竞赛一试第11题如下：

函数的值域为______．

答案：

方法一：

两边平方得．

从而，且．

由

或．

任取，令，易知．

于是且．

任取，令同样，易知．

于是且．

因此，所求函数的值域为．

注：

本方法为参考答案上所给的方法．有一定局限性，如将函数改为，则不再适用．

方法二：

由，得或．

又，

设，．

则．

当时，

又，

则，

．

类似地，当时，．

因此，所求函数的值域为．

注：

形如（)等代数式中的可以运用正（余）割代换．

方法三：

令得，；令得，．因此在递减，在递增．

又，，，．

因此，所求函数的值域为．

注：

本方法比较直接，函数单调性也容易求出．唯一难点在时，的极限，求法如下：

方法四：

由，

作代换：，其中在和时能分别取遍．

则

即

于是

(1)时，．

(2)时，

注：

这种换元能够通过引入，直接去掉根号，使得计算量大大降低．