1. Euclid的证明

使用反证法．若只存在有限个素数，将所有素数从小到大依次排列为，再设，且为的一个素因子．由于均不整除，必为不同于它们的另一素数，这与为所有素数矛盾，故素数有无穷多个．

在素数有无穷多个的所有证明中，Euclid的证明应该是最被大家熟知的一个了．
这个证明非常初等，此外，Euclid的证明能够进行一些改造从而给出素数分布的一些信息：
对任意，存在一个素数，使得．
证明 将不大于的所有素数从小到大依次排列为，再设，且为的一个素因子．由于均不整除，必为不同于它们的另一素数．我们有，由于为不大于的所有素数，故．
注意到不超过的素数个数不超过，我们可以用来代替．
当然，这是一个非常粗糙的估计．
Euclid的证明有很多的变体．

2. Kummer的证明

使用反证法．若只存在有限个素数，将所有素数从小到大依次排列为，再设，则正整数必有一个素因子，于是，这显然不成立，故素数有无穷多个．

Kummer的证明本质上和Euclid的证明一致，只不过Kummer的证明中考虑了，而Euclid 的证明中考虑了．同样地，我们可以由Kummer的证明得到：
对任意，存在一个素数，使得．

3. Stieltjes的证明

使用反证法．若只存在有限个素数，设其为．设，将任意分解为两个正整数和的乘积，即．注意到任意素数恰整除和其中之一，故必不整除．而，这显然不成立，故素数有无穷多个．

4. Goldbach的证明

首先证明Fermat数（）两两互素．
证明 注意到

于是．

由于有无穷多个Fermat数，而每一个Fermat数的素因子各不相同，故存在无穷多个素数．
注 前个Fermat数：，，，，均为素数．而为合数，其最小的素因子为．

5. Schorn的证明

使用反证法，假设只有个素数，令．使用辗转相除法容易证明下列个正整数

两两互素．这个数的素因子各不相同，至少有个不同的素数，矛盾．故存在无穷多个素数．
Schorn的证明说明对于任意正整数，至少有个素数不大于．

6. Euler的证明

不同于以上的几个证明，Euler的证明使用了分析的方法．并且，Euler的方法在素数的分布问题上取得了巨大的进展．
设所有素数为，注意到对于任意，无穷级数

同时，Euler也证明了素数的倒数和发散．
注意到对于任意正整数，有

且对于任意素数，有

于是

这说明了

7. Erdös的证明

设，，，为所有不超过的素数．设，其中无大于的平方因子．于是

利用Erdös的方法，同样能够证明存在无穷多个素数．

证明 假设存在，使得

将不超过的正整数分成两个集合．设存在大于的素因子的正整数有个，其余正整数有个．于是有

由前面的证明可知．
于是当足够大时，有

矛盾．故素数有无穷多个．

8. Chebysheff的证明

我们用表示的素因数分解中素数的次数．于是有

且当时，有．

于是

于是时，有，由此说明素数有无穷多个．