2024年美国数学奥林匹克（初中组）
公众号原标题：2024年美国数学奥林匹克（初中组）——中文翻译
2024年美国数学奥林匹克（初中组）
程国根译
第一天
1. 设$ABCD$为圆内接四边形，$AB=7$，$CD=8$．点$P,Q$在线段$AB$上，满足$AP=BQ=3$．点$R,S$在线段$CD$上，满足$CR=DS=2$．求证：$PQRS$四点共圆．
2. 设$m,n$为正整数，集合$S=\{(x,y)\mid 1\le x\le 2m,\le y\le 2n,x,y\in\mathbb{Z}\}$．称由$mn$个矩形组成的集合是快乐的，如果这些矩形的边均平行于坐标轴，且$S$中的每一点恰为其中一个矩形的顶点．求证：证明快乐集合的个数是奇数．
3. 数列$a_{n}$定义如下：$a_{1}=2$，对任意整数$n\ge 1$，$a_{n+1}=a_{n}^{n+1}-1$．．求证：对任意素数$p>2$，和正整数$k$，都存在正整数$n$，使得$p^{k}\mid a_{n}$．
第二天
4. 设整数$n\ge 3$．罗文和科林在一个$n\times n$ 的方格网上玩游戏，每个小方格都被染为红、蓝二色之一．罗文可以任意交换两行的位置，科林可以任意交换两列的位置．如果一种染色方式满足以下条件，则称它是有序的：
- 无论罗文如何对行进行排列，科林总可以对列进行排列，以恢复原来的网格染色；
- 无论科林如何对列进行排列，罗文宗可以对行进行排列，以恢复原来的网格染色。
对固定的$n$，共有多少种有序的染色方式？
5. 求所有函数$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$，使得对任意$x,y\in\mathbb{R}$，都有$$f(x^2-y)+2yf(x)=f(f(x))+f(y).$$
6. 锐角$\triangle ABC$内一点$D$满足$\angle DAC=\angle ACB$，$\angle BDC=90^{\circ}+\angle BAC$．点$E$在射线$BD$上，满足$AE=EC$．$M$为$BC$中点．求证：直线$AB$与$\triangle BEM$的外接圆相切．
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\section*{2024年美国数学奥林匹克（初中组）}\subsection*{程国根译}\section*{第一天}\ex 设$ABCD$为圆内接四边形，$AB=7$，$CD=8$．点$P,Q$在线段$AB$上，满足$AP=BQ=3$．点$R,S$在线段$CD$上，满足$CR=DS=2$．求证：$PQRS$四点共圆．\vfill\ex 设$m,n$为正整数，集合$S=\{(x,y)\mid 1\le x\le 2m,\le y\le 2n,x,y\in\mathbb{Z}\}$．称由$mn$个矩形组成的集合是快乐的，如果这些矩形的边均平行于坐标轴，且$S$中的每一点恰为其中一个矩形的顶点．求证：证明快乐集合的个数是奇数．\vfill\ex 数列$a_{n}$定义如下：$a_{1}=2$，对任意整数$n\ge 1$，$a_{n+1}=a_{n}^{n+1}-1$．．求证：对任意素数$p>2$，和正整数$k$，都存在正整数$n$，使得$p^{k}\mid a_{n}$．\vfill\section*{第二天}\ex 设整数$n\ge 3$．罗文和科林在一个$n\times n$ 的方格网上玩游戏，每个小方格都被染为红、蓝二色之一．罗文可以任意交换两行的位置，科林可以任意交换两列的位置．如果一种染色方式满足以下条件，则称它是有序的：\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]\item 无论罗文如何对行进行排列，科林总可以对列进行排列，以恢复原来的网格染色；\item 无论科林如何对列进行排列，罗文宗可以对行进行排列，以恢复原来的网格染色。\end{enumerate}对固定的$n$，共有多少种有序的染色方式？\vfill\ex 求所有函数$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$，使得对任意$x,y\in\mathbb{R}$，都有$$f(x^2-y)+2yf(x)=f(f(x))+f(y).$$\vfill\ex 锐角$\triangle ABC$内一点$D$满足$\angle DAC=\angle ACB$，$\angle BDC=90^{\circ}+\angle BAC$．点$E$在射线$BD$上，满足$AE=EC$．$M$为$BC$中点．求证：直线$AB$与$\triangle BEM$的外接圆相切．\vfill一年一度全球数学爱好者的盛会，就差你了！
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