2024年尼泊尔IMO代表队选拔考试
公众号原标题：2024年尼泊尔IMO代表队选拔考试——中文翻译
2024年尼泊尔IMO代表队选拔考试
程国根 译
1. 设$a,b$为正整数．求证：若$a^b + b^a \equiv 3 \pmod{4}$，则$a+1$和$b+1$中至少一个不能表示为两个完全平方数之和．
2. 任给函数$f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$．求证：存在正整数$x,y$，使得$f(x+y)\le f(2x+f(y))$．
3. 求证：存在无穷多个整数$k\ge 2024$，使得存在满足如下条件的集合$\{a_{1},\cdots,a_{k}\}$：
- $a_{1}$为正整数，且对$1\le i<k$，有$a_{i+1}=a_{i}+1$；
- $2(a_{1}+\cdots+a_{k})+a_{1}-a_{1}^{2}\mid 2(a_{1}\cdots a_{k-2}-1)^{2}$．
4. Vlad在欧氏平面上画出$100$条射线．David画出一条直线$\ell$，$\ell$与多少条射线相交，David就要付给Vlad多少元钱．自然地，David希望自己支付的钱越少越好．Vlad最多能从David那里得到多少钱？
5. 在锐角$\triangle ABC$中，$2BC=AB+AC$，内心为$I$．$AI$和$BC$交于点$A'$．$AA'$的垂直平分线分别交$BI,CI$于点$B',C'$．$AB'$和$\triangle ABC$的外接圆再次交于点$X$，$XI$和$AC'$交于点$X'$．求证：$2\angle XX'A'=\angle ABC$．
查看本文 LaTeX 源码
\section*{2024年尼泊尔IMO代表队选拔考试}\begin{flushright} 程国根\quad 译\end{flushright}\ex 设$a,b$为正整数．求证：若$a^b + b^a \equiv 3 \pmod{4}$，则$a+1$和$b+1$中至少一个不能表示为两个完全平方数之和．\vfill\ex 任给函数$f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$．求证：存在正整数$x,y$，使得$f(x+y)\le f(2x+f(y))$．\vfill\ex 求证：存在无穷多个整数$k\ge 2024$，使得存在满足如下条件的集合$\{a_{1},\cdots,a_{k}\}$：\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]\item $a_{1}$为正整数，且对$1\le i<k$，有$a_{i+1}=a_{i}+1$；\item $2(a_{1}+\cdots+a_{k})+a_{1}-a_{1}^{2}\mid 2(a_{1}\cdots a_{k-2}-1)^{2}$．\end{enumerate}\vfill\ex Vlad在欧氏平面上画出$100$条射线．David画出一条直线$\ell$，$\ell$与多少条射线相交，David就要付给Vlad多少元钱．自然地，David希望自己支付的钱越少越好．Vlad最多能从David那里得到多少钱？\vfill\ex 在锐角$\triangle ABC$中，$2BC=AB+AC$，内心为$I$．$AI$和$BC$交于点$A'$．$AA'$的垂直平分线分别交$BI,CI$于点$B',C'$．$AB'$和$\triangle ABC$的外接圆再次交于点$X$，$XI$和$AC'$交于点$X'$．求证：$2\angle XX'A'=\angle ABC$．\vfill
留言
解法、疑问、勘误都可以说。公式用 LaTeX：行内
$…$，整行$$…$$。留言区还没开。想聊这道题，可以点上面的「在公众号查看原文」，到公众号那边留言。