一个取球次数数学期望的简单求法

吴其建老师问了我这样一个问题：

一个袋子中有（）个除颜色外其余无差别的小球，其中有个红球，从中不放回地取出小球直到取出第二个红球为止，记为取出的小球个数，求．

直接求的分布列并计算期望是可行的，但是较为复杂．

这里给出一个简单的求法：

本题等价于

将个白球排成一列，并依次编号为，再将其中个染成红色，设第二个红球的编号为，求．

注意到，如果将球的编号反过来，即变为，那么变为．

但红球共有个，从左数的第二个红球与从右数的第二个红球是同一个，因此改变编号后，第二个红球编号的数学期望是不变的，即

也即．

注：

可以将本题一般化，得到的递推公式后再求通项：

一个袋子中有个除颜色外其余无差别的小球，其中有个红球，个蓝球．从中不放回地取出小球直到恰取出个红球、个蓝球为止，记为取出的小球个数，求．

设，对摸到的第一个球进行分类讨论，即可得：

这个递推公式难以求出通项，但如果只要做出开始的题目，可取，此时不难求得

感兴趣的读者不妨试一试．