赛题翻译
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2024年葡萄牙数学奥林匹克
公众号原标题：2024年葡萄牙数学奥林匹克——中文翻译
2024年葡萄牙数学奥林匹克
程国根译
第一天
1. 求最小的正整数$n$，使$n$的数码和与$n+1$的数码和均为$17$的倍数．
2. 设$\triangle ABC$三边$BC,CA,AB$的中点分别为$D,E,F$，已知$AD\perp BE$，$AD=12,BE=9$．求$CF$的长度．
3. 一个数列只由$0$和$1$组成，且没有相邻的两项同时为$0$．存在多少个长度为$10$的这样的数列？
第二天
4. 一圆内切于边长为$10$的正方形$ABCD$，在$BC$和$AD$上的切点分别为$M,N$．$AM$和圆再次交于点$I$，点$I$在$MN$上的射影为$P$．求$PI$的长度．
5. 在一次两国的体育比赛中，每个国家有$5$支球队参赛．每支球队与两个国家的各一支球队比赛一场，一场在主场，一场在客场．在这次比赛中，可以有几种不同的安排方式？
6. 亚历山大和贝纳多进行一个游戏．起初，袋子里共有$n$个球．第一轮，亚历山大可以从袋子里拿一个球；第二轮，贝纳多可以从袋子里拿一个或两个球，以此类推．他们轮流取球，在第$k$轮，他们可以取$1$个到$k$个球．取走袋子中最后一个球的人获得胜利．对于每一个正整数$n$，谁有必胜策略？
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\section*{2024年葡萄牙数学奥林匹克}\subsection*{程国根译}\section*{第一天}\ex 求最小的正整数$n$，使$n$的数码和与$n+1$的数码和均为$17$的倍数．\vfill\ex 设$\triangle ABC$三边$BC,CA,AB$的中点分别为$D,E,F$，已知$AD\perp BE$，$AD=12,BE=9$．求$CF$的长度．\vfill\ex 一个数列只由$0$和$1$组成，且没有相邻的两项同时为$0$．存在多少个长度为$10$的这样的数列？\vfill\section*{第二天}\ex 一圆内切于边长为$10$的正方形$ABCD$，在$BC$和$AD$上的切点分别为$M,N$．$AM$和圆再次交于点$I$，点$I$在$MN$上的射影为$P$．求$PI$的长度．\vfill\ex 在一次两国的体育比赛中，每个国家有$5$支球队参赛．每支球队与两个国家的各一支球队比赛一场，一场在主场，一场在客场．在这次比赛中，可以有几种不同的安排方式？\vfill\ex 亚历山大和贝纳多进行一个游戏．起初，袋子里共有$n$个球．第一轮，亚历山大可以从袋子里拿一个球；第二轮，贝纳多可以从袋子里拿一个或两个球，以此类推．他们轮流取球，在第$k$轮，他们可以取$1$个到$k$个球．取走袋子中最后一个球的人获得胜利．对于每一个正整数$n$，谁有必胜策略？\vfill一年一度全球数学爱好者的盛会，就差你了！
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