2023年中科大创新班初试数学试题解答

1. 复数满足，求证：当且仅当．

证明：

由题意知：，两边取模得：．于是

即．

于是

2. 设（）为中的五个非零向量．求证：存在非零向量，使得存在，满足与的夹角均不超过（）．

证明：

设的起点均为，终点分别为（）．

考虑平面，由抽屉原理，、、中必存在两点，在平面的同侧（含平面上），不妨设为、．

取平面的法向量，且使指向、一侧，易知满足题意．

3. 甲、乙两盒中各放只兔子，一雌一雄．称一次操作是从甲、乙盒中各随机抽一支兔子交换，记次操作后甲、乙盒中仍各有一雌一雄的概率为．求及．

解答：

若交换前笼子里均为一雄一雌，则一共有种交换情况，其中两种交换后仍均为一雄一雌（雄换雄或雌换雌），另两种交换后笼子里为两雄和两雌．而两雄和两雌的情况交换后必然回到均为一雄一雌．于是有递推关系：

于是，可得

于是．

4. (1)，证明：．
   (2)，．证明：对任意正整数，都有．

证明：

(1)求导易证，实际上为一阶和三阶的泰勒展开，是第二问的提示．

(2)由题意知：

于是，归纳易知递减，因此

累加得：

解得：，证毕．

5. 将正整数去除完全平方数后由小到大排成一排，记作．比如，，，．求证：对任意正整数，都有．

证明：

满足的共有个，此时有

即，即，故，易知等号无法取得．

在之前共有个完全平方数被去除，于是．

因此，证毕．