数学竞赛每日一练 第6期解答

题目来源：2021年马其顿数学奥林匹克——中文翻译。

在梯形 $ABCD$ 中，$AD\parallel BC$，且 $\angle BCD<\angle ABC<90^\circ$。设 $E$ 为对角线 $AC$ 和 $BD$ 的交点。$\triangle BEC$ 的外接圆 $\omega$ 在 $X$ 处与线段 $CD$ 相交。$AX$ 和 $BC$ 交于点 $Y$，$BX$ 和 $AD$ 交于点 $Z$。求证：$EZ$ 和 $\omega$ 相切的充要条件为 $BE$ 和 $\triangle BXY$ 的外接圆相切。

注． 原文在「所以，」处缺失了过渡的一步，而这一步正是全题的枢纽。以下按原文转写，并把缺失的推理补全。

解答 以下角的关系均按有向角（模 $180^\circ$）理解。因为 $E$、$B$、$C$、$X$ 都在 $\omega$ 上，故同弦 $XC$ 所对的圆周角相等，即 $\angle XEC=\angle XBC$。又 $X$、$B$、$Z$ 共线，$Z$、$D$、$A$ 共线，且 $AD\parallel BC$，故 $\angle XBC$ 与 $\angle XZD$ 是内错角，得 $\angle XEC=\angle XBC=\angle XZD$。由 $E$、$C$、$A$ 共线及 $Z$、$D$、$A$ 共线，上式即 $\angle XEA=\angle XZA$，故 $A$、$Z$、$X$、$E$ 四点共圆。

于是同弦 $ZX$ 所对的圆周角相等，得 $\angle ZEX=\angle ZAX$。再由 $X$、$A$、$Y$ 共线，$Y$ 在 $BC$ 上，$AD\parallel BC$，得 $\angle ZAX$ 与 $\angle BYX$ 是内错角，故 $\angle ZEX=\angle ZAX=\angle BYX$。

所以 $\angle ZEX=\angle BYX$。注意到 $\angle ZEX$ 是弦 $EX$ 与直线 $EZ$ 的夹角，$\angle EBX$ 是 $\omega$ 上弦 $EX$ 所对的圆周角；$\angle EBX$ 又是弦 $BX$ 与直线 $BE$ 的夹角，$\angle BYX$ 是 $\triangle BXY$ 外接圆上弦 $BX$ 所对的圆周角。由弦切角定理，

$$ \begin{aligned} & EZ \text{ 与 } \omega \text{ 相切} \iff \angle ZEX=\angle EBX,\\ & BE \text{ 与 } \triangle BXY \text{ 的外接圆相切} \iff \angle EBX=\angle BYX. \end{aligned} $$

但 $\angle ZEX=\angle BYX$，故「$EZ$ 与 $\omega$ 相切」与「$BE$ 与 $\triangle BXY$ 的外接圆相切」互为充要条件。$\square$