数学竞赛每日一练 第3期解答

1. 求由个不全相等的整数构成的可重集合，使得其中每一个数的平方等于其余所有数之和．

解答 设所求的个整数为，，，．记．

由题意知：，于是所有均为的根．

于是这个整数恰有两个不同的取值（由于它们不全相等）．由韦达定理可设其为和，且．

设这个数中有个，个，其中．

于是．

即，也即

于是．

逐一代入检验得：，；，；，；，符合题意．

于是本题的答案为：
个和个或个和个．

2. 是否对于任意的，均存在个不全相等的整数，使得其中每一个数的平方等于其余所有数之和．

解答 设所求的个整数为，，，．记．

由题意知：，于是所有均为的根．

于是这个整数恰有两个不同的取值（由于它们不全相等）．由韦达定理可设其为和，且．

设这个数中有个，个，其中．

于是．

即，也即

若为素数，则

时，可得，矛盾！
时，可得，矛盾！
时，可得，矛盾！
时，可得，矛盾！

于是对于使为素数的，不存在满足题意的个正整数，故结论不成立．