一道IMO题目的经典构造

今天给学生讲了1977年IMO的第2题：

若自然数满足如下条件：存在由个实数组成的数列，使得任意连续项之和为负，任意连续项之和为正．求的最大值．

首先容易得到的一个上界，这是因为如果，则取数列的前项，并进行分组求和：

上式的每一个括号均为负，故为负．

同样的，

上式的每一个括号均为正，故为正．

这两者是矛盾的，于是．

上面的分组方式可以进行改进，将，，，按照下表排布：

注意到上表中每一行为连续个数之和，每一列为连续个数之和．故计算上表所有数之和时，若按行计算，则总和为正；若按列计算，则总和为负．因此矛盾，于是．

下面我们给出的构造，为方便处理连续项之和，我们设的部分和数列：

并定义．

于是由任意连续项之和为正知：，即．

由任意连续项之和为负知：，即．

从出发，得到下面两串不等式链：

上面两个不等式链中恰好出现到的所有数．接下来按照大小顺序进行赋值即可．

由可令，，，，，，，，，，，，，，，．

由此求得：，，，，，，，，，，，，，，，．

容易发现，上述数列中任意连续项中均有个和个，和为；任意连续项中均有个和个，和为．

上述将数列中连续项之和转化为部分和数列之差的方法是非常常见的，比如初中小蓝本《组合趣题》书上的一道例题：

一个大学生在去年暑假用了天学习高等数学，并遵循如下规则：

1. 每天至少学习小时；
2. 每天按整小时学，且最多学小时；
3. 全部学习时间不超过小时．

求的最小值，使得该大学生在此期间一定存在连续的若干天，学习高等数学的时间总和为小时．