高级组

第一天

1. 给定一个的方格，其中每个小方格被染为红、绿二色之一．已知不存在同行、同列、同对角线的连续个同色小方格．如果一个的方格恰好有一条红色对角线和一条蓝色对角线，则称它是“像国际象棋”的．求“像国际象棋”的方格个数的最大值．
2. 给定整数，正实数，．求证：对任意，有

   

   其中．
3. 求所有三元正整数组，满足．

第二天

4. 设锐角的内切圆为，内心为，所对的旁切圆为．和切于点，和切于点．点为和的两个交点中更靠近的一点．点为点在上的垂足．求证：，，三线共点．
5. 如果在正整数的二进制表示的数码中，的个数严格大于的个数，则称是“值得纪念的”．（例如，是“值得纪念的”，因为，其中的个数大于的个数）问：是否有无穷多个“值得纪念的”完全平方数？
6. 对任意整数，考察由同一圆上等距分布的个点组成的集合．点集的一个完美匹配由恰以中的所有点为端点的条线段组成．记为的所有非交叉的完美匹配（即线段不相交）组成的集合．如果完美匹配关于圆心中心对称后和自身重合，则称为中心对称的．用表示中中心对称的完美匹配的个数．

初级组

第一天

1. 为锐角的一条高（）．过作的平行线和的垂直平分线交于点．求证：当且仅当．
2. 同高级组第1题
3. 同高级组第2题

第二天

4. 求所有正整数，使得集合能被划分为两个不相交的元子集和，使得中所有元素之和能被中所有元素之和整除．
5. 同高级组第4题
6. 同高级组第5题