一道复数方程组问题

题目： 求所有的正整数使方程组

在复数范围内有唯一解．

解答： 显然方程组有解．

当、时，容易知道也是方程组的解．

对于，如果是方程组的解，那么、、是多项式的根,其中

所以．

设．由，得，同理可得，．故

同理可得．

故由，，均可得到，此时只有唯一解 ．

设，，注意到，选取多项式

的一个复数根，取满足条件的．

我们证明、，也是方程组的一组解．

显然，，同样．易知

于是，所有的为、、．