第一天

1. 若一个凸五边形的边长均为整数，且周长为奇数．求证：该凸五边形可以有两个直角，但不能有超过两个直角．

2. 设点在凸六边形内部，使，，为面积相等的平行四边形．求证：，，也为面积相等的平行四边形．

3. 求所有实系数多项式，使得：
   (1)对任意正实数，都有；
   (2)对任意满足的正实数，，，都有．

4. 设平面点集．将中的点染成红、蓝二色之一，满足若点和点同色，则点也和它们同色．
   问：有多少种对的染色方式？

第二天

5. 数列，，，满足．若存在正整数，使得：
   (1)数列的前项均不超过；
   (2)数列的剩余项均不小于．
   求证：．

6. 在Biplania国家中有两家航空公司，分别为Redwing和Blueways，该国家有个城市，其中两个为Abadu和Ethora．在任意两个城市之间，两家航空公司中恰好有一家有直达航班，并且该航空公司在两个城市之间双向飞行．
   Arthur只坐Redwing的飞机，他从Abadu飞到Ethora需要乘坐四趟航班．
   Martha只Blueways的飞机．
   求证：Martha在该国家内从任意一个城市到另一个城市至多只需乘坐两趟航班．

7. 对任意正整数，记为和与最近的的幂之差．称的停止次数为，如果为使得（将迭代次）的最小正整数．例如：，，，则的停止次数为．
   (1)求停止次数为的最小正整数．
   (2)最多有多少个连续的正整数，具有相同的停止次数？

8. 锐角三角形的垂心为．过点和点的高分别和的角平分线交于点和点．的外接圆在点和点处的切线交于点．求证：．