2022年高联不等式分析

今天来看号称高联史上最难的不等式：2022年高联A卷第三题。

题目：

设是非负整数，同时满足以下条件：

（1）存在正整数，使得，而当时，；

（2）；

（3）．

求的最小可能值．

分析：

首先来猜测最小值的等号成立条件．

根据题中式子形式：、、，容易想到Cauchy不等式：

但是由于均为整数，等号显然无法成立．

但是可以估计取等时的分布趋势．我们使用Lagrange恒等式进行分析：

其中，为定值，为使尽可能小，需要尽可能小．

我们猜测中，的个数要尽可能多（这是因为非零的的个数，以及系数均是二次的，对总和影响会比较大）．

由条件（1）知，所有非零项是连续且不减的．

对非零项的个数从小进行讨论：

（1）只有一项非零，则，，由知不成立．

（2）只有两项非零，设为，则

消去得：．由于为正整数，故．但，即，故矛盾．

（3）有三项非零，设为，则

消去得：．

由知，，结合为整数知．

消去得：，即，结合为整数知．

于是只能有．此时有

解得：，．

代入得：，故．

此时

此式关于递增，故在取最小可能值时，原式取最小值，此时，．

自此，我们猜出了取等条件．

答案及构造：

在，，，，时，取最小值．

继续分析：

接下来考虑证明．

对、、的处理，除了无法对整变量依然有效的Cauchy不等式外，我们常用局部不等式进行处理．

一个简单例子是：若，则．

这个不等式对实数不恒成立，但由于整数具有离散性，或，是对整数恒成立的．

更一般的不等式为：

对，有．

上式等价于．求和后能够很好地处理、、的大小关系，且取等可以控制在整数．

在本题中，我们已经猜到取等条件为三项非零，故对于其余为零的项，可以比较大胆地放缩．

而对于这三项，我们希望上述不等式的放缩误差能尽可能小．

初步想法是，此时，，且，或．于是．可以继续分析的大小，完成本题证明．

也可以考虑，等函数，进行局部放缩，再分析剩下一个变量的范围．但这些方法都不尽如人意．

我们进行改进，希望能够较好地利用这一条件．

设，则，，令得．

这样，，此时，，，且，或．于是

展开得：

结合为整数知：

于是，的最小值为．

自此，我们完成了高联史上最难代数题．

注：

本题第一个难点在于猜到答案，借助Lagrange恒等式来猜测取等条件，并从非零项的个数进行分析是比较自然的．

对于离散型不等式，使用类似的局部不等式进行分析是常规操作，本题中所构造的局部不等式非常巧妙，是我第一次做根本无法想出来的，各位读者可以好好体会这个构造．