每年，我国台湾的前IMO参赛者组成的小团体都会举办一个夏令营，讲解知识和技巧，还有8次模拟考试．从2017年开始，他们取消了模拟考试，用若干练习题来取代．下面就是2021年中国夏令营的IMOC练习题．

数论组

1. (LTE引理)证明以下四个结论：
   (1)对任意非零整数，和质数，都有；
   (2)如果奇质数，正整数，整数和满足：，，，，则；
   (3)如果奇质数满足：，，，则；
   (4)如果奇质数，正整数，整数和满足：，，，则．
2. 求证：对任意两个不同的奇质数和，存在一个正整数，满足，其中表示的最小质因子．
3. 定义函数满足为的最大质因子．正整数数列满足，且

求证：对任意正整数和，数列有界．

4. 个正整数（不必互异）排列在一个圆周上，满足每个正整数均整除它两边的两个正整数之和．求证：如果这些数中恰有一个，则对任意正整数，至多有个．
5. 求满足下述所有条件的正整数集合：
   (1)若和均在中（，不必互异），则也在中；
   (2)若正整数和满足，则中存在元素满足，；
   (3)对任意奇质数，集合中的元素按照模的余数恰好能分成类．
6. 求证：不存在正整数，，满足．
7. 给定奇质数．求最大的正整数，使得能将集合分成两个集合和，满足对任意从到的整数，都有

   
8. 求所有整值多项式，：，使得，均成立，其中表示的正约数个数．
9. 求所有正整数对，使得存在无穷整数集合，任意正整数均能表示为

   的形式，其中和为非负整数，为中的元素．
10. 称一个质数为“完美的”，如果存在，，，的一个排列：，，，，，，，满足对，有．求证：存在无穷多个不完美的质数．
11. 给定一个奇质数．映射：满足对任意均成立．求证：满足且的数对的个数至少为

    
    注：如果将结论中的换成更大的常数，则可能会得到部分分数．