初级组(Junior Preblems)

J565． 设．求证：能被整除．

J566． 设正实数，，，满足．求证：

J567． 设，，为实数，，且满足

求的最大值．

J568． 设为不等边三角形，为的中点．的外接圆与交于点(异于点)，的外接圆与交于点(异于点)．设为的中点，求证：和中的-陪位中线平行．

J569． 设，，为正实数．求证：

J570． 设为锐角三角形，求证：

高级组(Senior Problems)

S565． 设，，，为正实数，求证：

S566． 设，，，为正实数，且满足

求证：

S567． 设正实数，，满足，．求证：

S568． 在中，，为外心，为内心．设为和外接圆的另一交点．求证：若，则．

S569． 求所有十进制下的完全平方数，其由个和个所组成，其中为正整数．

S570． 设正实数，，，满足

且没有两个小于，而另外两个大于．求证：

大学组(Undergraduate Problems)

U565． 设为素数，且整数，，，构成模的一个简化剩余系．整数，，，满足．求证：存在，，，的一个排列，，，，使得如下循环矩阵的行列式也能被整除：

U566． 求如下方程的实数解：

U567． 设为一个正偶数，为一个复数．求证：不存在次数至少为的复系数多项式和，使得

U568． 设实数．计算：

U569． 设为正整数，为正系数多项式．求证：对任意在上均取正值的首一多项式，存在正整数，使得的所有系数均为非负数．

U570． 解如下微分方程：

奥林匹克问题(Olympiad Problems)

O565． 设，，为三角形的三边长，为半周长，为内切圆半径．记

设，．求证：

O566． 设正实数，，满足．求证：

O567． 设不等边的内心为，外心为．为的九点圆圆心，为的中点．已知的中点在边上，求证：和平行．

O568． 正实数，，满足．求证：

O569． 正实数，，满足．求证：

O570． 求所有十进制下的完全平方数，其由个和个所组成，其中为正整数．