2019年联赛A卷数论题的一个自然证法

题目：

设为整数，．整数数列满足：不全为零，且对任意正整数，均有．求证：若存在整数（）使得，则．

分析：

本题常规方法为模，比较简单．这里写一个从数列通项角度考虑的方法，个人觉得也非常自然．

证明：

由递推公式可设（次数设成是为了使后面出现的形式简洁），其中为的两根，即，．

由知

视为关于的齐次线性方程组

由不全为零知不全为零，于是此方程组的系数行列式为零，即

也即

构造数列：，其满足

于是（*）．

（至此，完成了对题目条件的“翻译”，将信息不明确的数列转化成了固定的数列）

将往后写几项：

容易归纳证明：时，

（1）时，将(*)两边模得：

即，也即，证毕．

（2）时，(*)变为．

(i)时，两边模得：

即，也即．

(ii)时，(*)变为，即，矛盾．

综上，结论成立．