今天生日，发道简单的不等式纪念一下
问题：
正实数列满足对任意正整数，都有
求证：存在正实数，使得
证明：
由柯西不等式，
于是
即．
因此
令，即即可．
图片版：
改编自一道老题（2013年新加坡），改成了2023和1013两个数字，初学柯西不等式的同学就能很快做出来。
tex文档：
1. 正实数列$\{a_n\}$满足对任意正整数$n$，都有$$a_{n+1}^{2}\ge \frac{a_1^2}{1^3}+\frac{a_2^2}{2^3}+\cdots+\frac{a_n^2}{n^3}.$$求证：存在正实数$N$，使得$$\sum_{n=1}^N\frac{a_{n+1}}{a_1+a_2+\cdots+a_n}>\frac{2023}{1013}.$$
由柯西不等式，$$a_{n+1}^{2}\ge \frac{a_1^2}{1^3}+\frac{a_2^2}{2^3}+\cdots+\frac{a_n^2}{n^3}\ge \frac{(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n})^{2}}{1^{3}+2^{3}+\cdots+n^{3}}$$于是$$\left(\frac{a_{n+1}}{a_{1}+\cdots+a_{n}}\right)^{2}\ge\frac{1}{1^{3}+\cdots+n^{3}}=\left(\frac{2}{n(n+1)}\right)^{2}$$即$\dfrac{a_{n+1}}{a_{1}+\cdots+a_{n}}\ge\frac{2}{n(n+1)}$．因此$$\sum_{n=1}^N\frac{a_{n+1}}{a_1+a_2+\cdots+a_n}\ge 2\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=2-\frac{2}{N+1}$$令$2-\dfrac{2}{N+1}>\dfrac{2023}{1013}$，即$N>\dfrac{2023}{3}$即可．
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\begin{document}\setDOCadd{../../}\begin{spacing}{1.3}\ex 正实数列$\{a_n\}$满足对任意正整数$n$，都有$$a_{n+1}^{2}\ge \frac{a_1^2}{1^3}+\frac{a_2^2}{2^3}+\cdots+\frac{a_n^2}{n^3}.$$求证：存在正实数$N$，使得$$\sum_{n=1}^N\frac{a_{n+1}}{a_1+a_2+\cdots+a_n}>\frac{2023}{1013}.$$\begin{proof}由柯西不等式，$$a_{n+1}^{2}\ge \frac{a_1^2}{1^3}+\frac{a_2^2}{2^3}+\cdots+\frac{a_n^2}{n^3}\ge \frac{(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n})^{2}}{1^{3}+2^{3}+\cdots+n^{3}}$$于是$$\left(\frac{a_{n+1}}{a_{1}+\cdots+a_{n}}\right)^{2}\ge\frac{1}{1^{3}+\cdots+n^{3}}=\left(\frac{2}{n(n+1)}\right)^{2}$$即$\dfrac{a_{n+1}}{a_{1}+\cdots+a_{n}}\ge\frac{2}{n(n+1)}$．因此$$\sum_{n=1}^N\frac{a_{n+1}}{a_1+a_2+\cdots+a_n}\ge 2\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=2-\frac{2}{N+1}$$令$2-\dfrac{2}{N+1}>\dfrac{2023}{1013}$，即$N>\dfrac{2023}{3}$即可．\end{proof}\end{spacing}\end{document}
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