北京大学2023年“物理学科卓越人才培养计划”数学试题解答

1. 已知个整数，，，使，求的最小值．

解答：

不为完全立方数，故．

若，则存在整数，，使得

模可知，，且，．

于是只能取，，，，经检验，都不符合．

若，容易发现

于是的最小值为．

注：

本题背景为三立方和问题，最近的一个结果是2019年Andrew Booker和Andrew Sutherland得到的

2. 设，求所有的正整数大于，使是一个常值函数．

解答：

陈题，偷懒直接贴个答案，也基本没有别的好方法。

3. 对任意的有，且为单调递增的正整数数列，求．

解答：

一道被各国竞赛考过很多次的陈题，上一次见到是2021年平行线的百子选拔．主要思路是利用单调递增卡住两个数之间的所有项的取值．

为方便书写，用代替．

由知，，故．

由于对任意，，所以包含于值域．

由，考察的取值．

若，则，矛盾．

若，则，矛盾．

故，．

由于在值域中，且，所以．

(后面过程中多次用到这一推理，原因不再赘述)

注：

昨天发了之后，经过申强提醒，才想起来自己忘写这题的三进制做法了。

事实上，这个数列为三进制下以开头或以结尾的所有数．即三进制下的：

、、、、、、、、、、、、、、、、、

只需验证以下结论成立即可：

(1)；

(2)；

(3)．

4. 从等差数列，，，，中抽取个数，使得它们的倒数和为，求的最小值．

解答：

陈题，之前上课时给四年级的学生讲过．

设，其中．

将上式两边同时乘以，等式左边模和同余，右边模和同余．

于是，即．

或时，

于是，下面给出的构造：

5. (1)证明：对任意无理数，存在无数个有理数使得．
   (2)证明：对无理数和任意的整数和，都存在使得．

本题即为Dirichlet逼近定理的推论，可以参考《哈代数论》第11章 用有理数逼近无理数．

第(1)问可以利用抽屉原理证明，参见11.3节 Dirichlet的一个论证方法．

第(2)问为11.4节 逼近的阶的定理188．