一道初联代数题的推广

题目1 已知互不相等的实数，，满足

则__________．

（年全国初中数学联赛）

分析 这题没什么好说的，代入消元后结合，，互不相等的条件就可以求出了．代入过程中注意整体考虑可以减少一些计算量．

解答 由得．

代入，得

整理得：

又由，可得．

代入上式得：

即

又由于，于是，即

并且，时，；，时，．

故答案为：．

值得一提的是，由本题条件还可以得到这一结论．

题目2 已知互不相等的实数，，满足

求证：．

分析 利用题目的结果不难得到．考虑到轮换的结构，我们还有下面的证法．

证明 由可得：

同理有

及

三式相乘即证．

在一些地方可以见到上面两题的四元推广，本质做法基本一样．但题目的复杂程度会大幅提升，而题目基本没有改变．于是想到将题目推广为元形式．

题目3 正整数，互不相等的非零实数，，，满足：

求实数的值．

分析 这本质是一个数列问题．建立和的递推式（含），显而易见，这是一个分式线性递推数列．本题即要求使得该数列为周期数列，且最小周期为的实数．

分式线性递推数列的周期性判断有比较复杂的方法，在此不再赘述．可以参见 知乎——如何通过递推公式的特征方程求周期数列的周期?

在本文中，我们可以发现

时，；

时，；

时，．

想到使用与余弦有关的工具进行处理（第二切比雪夫多项式）．

解答 对于任意非零实数，定义，()．

设为第二切比雪夫多项式，其满足，，时，

下面用数学归纳法证明：时，有

（1）时，结论显然成立；

（2）假设结论在时成立，那么在时，

于是结论在时也成立．

设，即

于是

即

只能有．而我们知道

于是，其中正整数满足，且（保证不会存在更小的周期）．

事实上，上述过程展示了这类分式线性递推数列为周期数列的另一种处理方式．