2024年浙江省预赛第11题背景分析

2024年浙江省预赛的第11题如下：

设为正整数，且

则__________．

参考答案利用了组合恒等式进行变形，见文末．

这里对本题的背景进行分析．

首先观察到分母可以进行因式分解：

这是连续的三个整数之积，结合分子中的组合数，我们构造函数：

对求三次导数，可将分母完全约去：

进一步地，右边提出后为二项式定理：

下面我们对重新求三次不定积分，作换元，则

易得

的三阶导数即为．

将其中的换回，即得

的三阶导数也为（容易验证）．

于是多项式和的三阶导数相同，这说明和的三次及以上的项均相同．

本题要算的为各项系数之和，而，即各项系数之和为．

注意到

的二次项、一次项、常数项系数均为．

故只需计算的二次项、一次项、常数项系数之和，并求其相反数，可得二次及以下的项．

在上式中，令，得

令，得或（舍去）．

参考答案如下：