2023年以色列数学奥林匹克

人围坐在一张圆桌旁．他们每个人要么是讲真话的人（总是讲真话），要么是撒谎的人（总是撒谎）．每个人都说“在我旁边右边的三个人中，至少有两个是骗子"．这个圆桌边共有多少个讲真话的人？

非负整数,满足．求的最大可能值．

给定三角形和一个任意的圆．令和关于点对称，和关于点对称，和关于点对称．已知圆,,互不相交．
设为和两条内公切线的交点．同样地，为和两条内公切线的交点，是和两条内公切线的交点．
证明：和全等．

对每个正整数，求所有三元实数组，使得

是否存在一个由个不同实数组成的集合，满足以下条件：
对于中的任意,（不一定不同），中都存在，使得．

Ana和Banana正在玩一个游戏．起初，Ana秘密地挑选了一个数字．在接下来的每轮游戏中，Banana可以挑选一个正整数，Ana会向他透露积中出现最多次的数码（用十进制符号书写）．在至少有两个数码并列的情况下，Ana将向Banana透露所有这些数码．例如，如果，Ana会告诉Banana，数码出现了最多次，而如果，Ana会说、和均出现了最多次．Banana的目标是在一定的回合数后确定数字．他有获胜的策略吗？