2022年高联A2卷一试非官方解答

今天看到题目之后就马上给学生讲了一试，这里对上课的解答做个整理．

1. 函数的最小值为__________．

答案：

解析：

分成两部分：

的最小值为，在，时取等．

由几何意义，的最小值为，在时取等．

两个最小值能同时取得，故本题答案为．

2. 若正数,满足,，则的值为__________．

答案：

解析：

将底数全换为，解出和即可．

于是，，．

3. 若无穷等比数列的各项和为，各项的绝对值之和为，则首项的值为__________．

答案：

解析：

无穷等比数列求和公式：，．

由题意知，正负交错，故．

而各项和，故．

因此奇数项为正，偶数项为负，各项绝对值组成一个公比为的等比数列．

各项和，即．

各项的绝对值之和，即．

解得．

4. 设为实数．若存在实数，使得为实数（为虚数单位），则的取值范围是__________．

答案：

解析：

即存在，使得．

因此，即．

5. 在平面直角坐标系中，,分别为双曲线：的左，右焦点，过的直线交于两点，．若，则的值为__________．

答案：

解析：

，．设，．

则

即，代入双曲线方程得．由对称性不妨设，于是的方程为．

和联立得：，即，解得或，于是．

于是．

6. 如图，正方体中，,分别为棱,的中点，过,,三点作该正方体的截面，已知截面是一个多边形，则在顶点处的内角的余弦值为__________．

答案：

解析：

容易找到和正方体棱的另两个交点．

如图，设，，

设正方体边长为，以为原点，如图所示建立空间直角坐标系．则，．

于是，．

．

7. 在中随机选出三个不同的数，它们两 两互素的概率为__________．

答案：

解析：

考虑和这两个有不同素因子的数，易知不能同时选和．

(1)选．则不能再选的倍数和的倍数，只剩下,,．共有种选法．

(2)选．则不能再选的倍数和的倍数，只剩下,,,，且和不能同时选．共有种选法．

(3)和都不选．将剩余的数划分为，，，，这五个集合，从三个不同的集合各选出个数，考虑的三次项系数即可，共有种选法．

于是．

8. 设,,为实数，，在平面直角坐标系中，函数的图像为曲线，另一函数的图像为曲线，且满足与关于直线对称．若点，，都在曲线或上，则的值为__________．

答案： 或

解析：

和互为反函数，，故．和均为双射函数．分两种情况讨论：

(1)，，即，于是，故，．于是

两两作差得：

于是，，．．．

(2)和(1)中相反，注意到和的对称性，此时有，，．．．

9. 已知及其边上的一点满足，，且以,为焦点可以作一个椭圆同时经过,两点，求的离心率．

解析：

设，，，则，，因此．

由题意知：，即，即．

设，则，．，．

椭圆的长轴长．

由斯特瓦尔特定理：

即焦距．

因此离心率．

10. 已知数列的各项均为非负实数，且满足：对任意整数，均有．若，求的最大可能值．

解析：

设，由题意知：

，即．

设，，则，，，，之后以为周期循环出现．

于是

由题意知，对恒成立．只需考虑的情形．

有，，，，，，即

由知，于是．因此

当且仅当，时，等号成立．

故的最大可能值为．

11. 给定整数（）．对于一个元有序数组

    

    若的每个分量均为或，且对任意,（），均有，且，则称为“有趣数组”．求有趣数组的个数．

码到这题的时候看了眼群，发现官方答案出来了，和我的做法基本一样，但我写得太啰嗦了．就采用了官方答案的处理方法，把、、、视为四个字母、、、．这里贴一下官方答案：