2021年德国数学奥林匹克解答

试题见：2021德国数学奥林匹克 中文翻译

1. 求所有实数，，，，使得，为的两个互异根，且，为的两个互异根．

解 由韦达定理知：，，，．

由和知．于是，或．

若，则，此时有，，于是，矛盾！于是．

于是，即；

，即．

因此即，也即．

故满足题意的为或或．

2. 凸四边形中，，，，分别在边，，，上．求证：以下两个命题等价：

存在四边形，，，，分别在线段，，，上，且不为顶点，使得周长最小．

，，，四点共圆，且圆心在四边形内部．

证明见万宏老师的文章《【解题笔记】2021德国数学奥林匹克T2》

3. 对给定的正整数，设所有十进制下的含有数字各一个的位数组成的集合为．求证：可以将划分为两个互不相交的子集，使得这两个子集中所有元素的立方和相等．

证明见申强老师的文章《申强解一道德国数学奥林匹克题目》、《德国数学奥林匹克题目的后续思考》

4. 已知，且为同向相似，四边形为平行四边形．求证：．

证明 由题意知．

又

于是，故，即．

(1)求最大的实数，使得对任意非负实数，，，都有．

(2)对第一问所求的实数，求所有使得等号成立的三元非负实数组．

解

(1)令，，有．

又不妨设，则

故．

(2)由(1)知，不存在使得等号成立的三元非负实数组．

注：第一问中的不等式，我的证法是暴力展开，但过程比较繁杂（如下），这里采用了龚固老师的证法，非常简单．

显然成立．

6. 是否存在无穷多个三元实数组，使得，，组成等差数列，且，和均为完全平方数．

解 由，，成等差数列，可令，，．于是有

令，则，和均为完全平方数．

这是一个佩尔方程，其有无数组整数解，于是相应的也有无数组．

注：本题来源为《Modern Olympiad Number Theory》例9.4.7，此解答只做了字母上的改变．