数学竞赛每日一练 第21期解答

若有且只有一个正方形，其中心位于原点，且其四个顶点在曲线上，求实数的值．

解答 若，此曲线在时只位于第一象限．设轴右侧正方形顶点为，，那么和的夹角必为锐角，不合题意．

若，假设在第一象限，在第四象限．则，且．由对称性，只需考虑时的情形．

设：，则：．

联立

得，同理．

由得：

即

于是原题等价于：求负数，使方程

恰有一个正数解．

显然，令，则．

即求负数，使恰有一个非零实数解．

于是且．

．