2023 年中国台湾 IMOC代数组
公众号原标题：2023 年中国台湾 IMOC代数组——中文翻译
每年，我国台湾的前IMO参赛者组成的小团体都会举办一个夏令营，讲解知识和技巧，还有8次模拟考试。从2017年开始，他们取消了模拟考试，用若干练习题来取代。下面就是2023年夏令营的IMOC练习题。
其余模块的题目接下来几天会陆续更新。
2023年中国台湾IMOC
程国根 译
代数组
1. 求所有函数$f$：$\mathbb{N}\to\mathbb{N}$，使得对任意正整数$n$，都存在唯一的正整数$k$，使得$f^{(k)}(n)\le n+k+1$．
2. 求所有函数$f$：$\mathbb{R}\to\mathbb{R}$，使得对任意$x,y\in\mathbb{R}$，都有$$f(f(x)+y)(x-f(y)) = f(x)^2-f(y^2).$$
3. 正实数$x,y,z$满足$x+y+z=3$．求证：$$\sum_{cyc}\left( x^2+y^2+x^2y^2+\frac{y^2}{x^2}\right)\geq 4\sum_{cyc}\frac{y}{x}.$$
4. 求所有函数$f$：$\mathbb{R}^{+}\to\mathbb{R}^{+}$，使得对任意$x,y\in\mathbb{R}^{+}$，都有$$xf(1+xf(y))=f(f(x)+f(y)).$$
5. 对实数$x$进行以下操作：选取一个正整数$n$及倒数和为$1$的$n$个正实数$a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$．令$x_{0}=x$，$x_{k}=\sqrt{x_{k-1}a_{k}}$（$1\le k\le n$），$y=x_{n}$．称正实数$M$是极大的，若对任意$x\in\mathbb{R}^{+}$，总能选取恰当的$n,a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$，使得$y$小于$M$．求所有极大的正实数．
6. 定义$$f(x,y,z)=|xy|\sqrt{x^2+y^2}+|yz|\sqrt{y^2+z^2}+|zx|\sqrt{z^2+x^2}.$$求最佳的常数$c_{1},c_{2}\in\mathbb{R}$，使得对任意满足$x+y+z=0$的实数$x,y,z$，都有$$c_1(x^2+y^2+z^2)^{3/2}\leq f(x,y,z)\leq c_1(x^2+y^2+z^2)^{3/2}.$$
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\section*{2023年中国台湾IMOC}\flushright 程国根\quad 译\section*{代数组}\ex 求所有函数$f$：$\mathbb{N}\to\mathbb{N}$，使得对任意正整数$n$，都存在唯一的正整数$k$，使得$f^{(k)}(n)\le n+k+1$．\vfill\ex 求所有函数$f$：$\mathbb{R}\to\mathbb{R}$，使得对任意$x,y\in\mathbb{R}$，都有$$f(f(x)+y)(x-f(y)) = f(x)^2-f(y^2).$$\vfill\ex 正实数$x,y,z$满足$x+y+z=3$．求证：$$\sum_{cyc}\left( x^2+y^2+x^2y^2+\frac{y^2}{x^2}\right)\geq 4\sum_{cyc}\frac{y}{x}.$$\vfill\ex 求所有函数$f$：$\mathbb{R}^{+}\to\mathbb{R}^{+}$，使得对任意$x,y\in\mathbb{R}^{+}$，都有$$xf(1+xf(y))=f(f(x)+f(y)).$$\vfill\ex 对实数$x$进行以下操作：选取一个正整数$n$及倒数和为$1$的$n$个正实数$a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$．令$x_{0}=x$，$x_{k}=\sqrt{x_{k-1}a_{k}}$（$1\le k\le n$），$y=x_{n}$．称正实数$M$是\textbf{极大的}，若对任意$x\in\mathbb{R}^{+}$，总能选取恰当的$n,a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$，使得$y$小于$M$．求所有\textbf{极大的}正实数．\vfill\ex 定义$$f(x,y,z)=|xy|\sqrt{x^2+y^2}+|yz|\sqrt{y^2+z^2}+|zx|\sqrt{z^2+x^2}.$$求最佳的常数$c_{1},c_{2}\in\mathbb{R}$，使得对任意满足$x+y+z=0$的实数$x,y,z$，都有$$c_1(x^2+y^2+z^2)^{3/2}\leq f(x,y,z)\leq c_1(x^2+y^2+z^2)^{3/2}.$$\vfill
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