2024年日本初中数学奥林匹克（决赛）
公众号原标题：2024年日本初中数学奥林匹克（决赛）——中文翻译
2024年日本初中数学奥林匹克（决赛）
程国根 译
1. 设正实数$a,b,c,d$满足$\frac{ab}{cd}=\frac{a+b}{c+d}$．求证:$$(a+b)(c+d)\ge(a+c)(b+d).$$
2. 在$\triangle ABC$中,$AB<AC$,$M$为线段$BC$的中点,点$N$是$\triangle ABC$的外接圆弧$BC$(含点$A$)的中点.$\angle BAC$的角平分线和$BC$交于点$D$.设点$M$关于直线$ND$的对称点为点$M'$.若点$M'$在$\triangle ABC$的内部,且$AM'\perp BC$,求$\angle BAC$的大小.
3. 求所有的正整数组$(n,x,y,z,p)$,其中$p$为素数,满足$$(x^2+4y^2)(y^2+4z^2)(z^2+4x^2)=p^n.$$
4. $2024\times 2024$方格网中的每个小方格都被染上红、蓝、白三色之一。在每个红色小方格内放置一枚红色棋子,在每个蓝色小方格内放置一枚蓝色棋子。此外，对于白色小方格，若它与至少一个蓝色小方格有公共边或公共顶点，则在其中放置一枚蓝色棋子。假设对于任意的$2\times 2$方格，其中的红色棋子和蓝色棋子个数相同，且均为一个或两个。求白色小方格个数的最大可能值。
5. 设$D$为$\triangle ABC$的外接圆弧$BC$（不含点$A$）上一点，且满足$AB:AC=DB:DC$.设点$B'$为$B$关于$AC$的对称点，点$C'$为$C$关于$AB$的对称点，点$D'$为$D$关于$BC$的对称点.求证：$\triangle BCD$与$\triangle B'C'D'$相似.
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\section*{2024年日本初中数学奥林匹克（决赛）}\begin{flushright} 程国根\quad 译\end{flushright}\ex 设正实数$a,b,c,d$满足$\frac{ab}{cd}=\frac{a+b}{c+d}$．求证:$$(a+b)(c+d)\ge(a+c)(b+d).$$\vfill\ex 在$\triangle ABC$中,$AB<AC$,$M$为线段$BC$的中点,点$N$是$\triangle ABC$的外接圆弧$BC$(含点$A$)的中点.$\angle BAC$的角平分线和$BC$交于点$D$.设点$M$关于直线$ND$的对称点为点$M'$.若点$M'$在$\triangle ABC$的内部,且$AM'\perp BC$,求$\angle BAC$的大小.\vfill\ex 求所有的正整数组$(n,x,y,z,p)$,其中$p$为素数,满足$$(x^2+4y^2)(y^2+4z^2)(z^2+4x^2)=p^n.$$\vfill\ex $2024\times 2024$方格网中的每个小方格都被染上红、蓝、白三色之一。在每个红色小方格内放置一枚红色棋子,在每个蓝色小方格内放置一枚蓝色棋子。此外，对于白色小方格，若它与至少一个蓝色小方格有公共边或公共顶点，则在其中放置一枚蓝色棋子。假设对于任意的$2\times 2$方格，其中的红色棋子和蓝色棋子个数相同，且均为一个或两个。求白色小方格个数的最大可能值。\vfill\ex 设$D$为$\triangle ABC$的外接圆弧$BC$（不含点$A$）上一点，且满足$AB:AC=DB:DC$.设点$B'$为$B$关于$AC$的对称点，点$C'$为$C$关于$AB$的对称点，点$D'$为$D$关于$BC$的对称点.求证：$\triangle BCD$与$\triangle B'C'D'$相似.\vfill
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