2023年中国台湾IMOC几何组
公众号原标题：2023年中国台湾IMOC几何组——中文翻译
每年，我国台湾的前IMO参赛者组成的小团体都会举办一个夏令营，讲解知识和技巧，还有8次模拟考试。从2017年开始，他们取消了模拟考试，用若干练习题来取代。下面就是2023年夏令营的IMOC练习题。
2023年中国台湾IMOC
程国根 译
几何组
1. $\triangle ABC$的外心为$O$，$M$为外接圆上不含点$A$的弧$BC$的中点．点$S$在$\triangle ABC$的外接圆上，且满足$AS$、$BC$、过$O$且垂直于$AM$的直线三线共点．作点$D$使得$ABDC$为平行四边形．求证：$D$在直线$SM$上．
2. 点$P$在$\triangle ABC$内部，延长$AP$、$BP$、$CP$，分别交对边于点$D$、$E$、$F$．$AD$和圆$(ABC)$再次交于点$D_{1}$．点$S$在圆$(ABC)$上，直线$AS$和$EF$交于点$T$，直线$TP$和$BC$交于点$K$，直线$KD_{1}$和圆$(ABC)$再次交于点$X$．求证：$S$、$D$、$X$三点共线．
3. 四边形$ABCD$内接于圆$O$．直线$AC$和$BD$交于点$E$，直线$AD$和$BC$交于点$F$．$O_{1}$、$O_{2}$分别为$\triangle ABE$、$\triangle CDE$的外心．设圆$(ABCD)$和圆$(OO_{1}O_{2})$交于$P$、$Q$两点．求证：$P$、$Q$、$F$三点共线．
4. $D$为$\triangle ABC$的边$BC$上一点．直线$AC$和圆$(ABD)$再次交于点$E$，直线$AB$和圆$(ACD)$再次交于点$F$．$M$为$EF$的中点，直线$BC$和圆$(DEF)$再次交于点$P$．求证：$\angle BAP=\angle MAC$．
5. 六边形$ABCDEF$内接于圆$O$，且$AD$、$BE$、$CF$共点于$X$．$P$为平面上任意一点，设$\triangle PAB$的外心为$O_{AB}$，类似定义点$O_{BC}$、$O_{CD}$、$O_{DE}$、$O_{EF}$、$O_{FA}$．求证：$O_{AB}O_{DE}$、$O_{BC}O_{EF}$、$O_{CD}O_{FA}$、$OX$共点．
6. $\triangle ABC$的外心为$O$．$D$为$A$在$BC$上的垂足，$P$为$AD$上一点．$P$在$CA$、$AB$上的垂足分别为$E$、$F$，$D$在$EF$上的垂足为$T$．直线$AO$和圆$(ABC)$再次交于点$A'$，直线$A'D$和圆$(ABC)$再次交于点$R$．点$Q$在直线$AO$上，且满足$\angle ABP=\angle QBC$．求证：$D$、$P$、$T$、$R$四点共圆，且$DQ$与此圆相切．
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\section*{2023年中国台湾IMOC}\flushright 程国根\quad 译\section*{几何组}\setcounter{ex}{0}\ex $\triangle ABC$的外心为$O$，$M$为外接圆上不含点$A$的弧$BC$的中点．点$S$在$\triangle ABC$的外接圆上，且满足$AS$、$BC$、过$O$且垂直于$AM$的直线三线共点．作点$D$使得$ABDC$为平行四边形．求证：$D$在直线$SM$上．\vfill\ex 点$P$在$\triangle ABC$内部，延长$AP$、$BP$、$CP$，分别交对边于点$D$、$E$、$F$．$AD$和圆$(ABC)$再次交于点$D_{1}$．点$S$在圆$(ABC)$上，直线$AS$和$EF$交于点$T$，直线$TP$和$BC$交于点$K$，直线$KD_{1}$和圆$(ABC)$再次交于点$X$．求证：$S$、$D$、$X$三点共线．\vfill\ex 四边形$ABCD$内接于圆$O$．直线$AC$和$BD$交于点$E$，直线$AD$和$BC$交于点$F$．$O_{1}$、$O_{2}$分别为$\triangle ABE$、$\triangle CDE$的外心．设圆$(ABCD)$和圆$(OO_{1}O_{2})$交于$P$、$Q$两点．求证：$P$、$Q$、$F$三点共线．\vfill\ex $D$为$\triangle ABC$的边$BC$上一点．直线$AC$和圆$(ABD)$再次交于点$E$，直线$AB$和圆$(ACD)$再次交于点$F$．$M$为$EF$的中点，直线$BC$和圆$(DEF)$再次交于点$P$．求证：$\angle BAP=\angle MAC$．\vfill\ex 六边形$ABCDEF$内接于圆$O$，且$AD$、$BE$、$CF$共点于$X$．$P$为平面上任意一点，设$\triangle PAB$的外心为$O_{AB}$，类似定义点$O_{BC}$、$O_{CD}$、$O_{DE}$、$O_{EF}$、$O_{FA}$．求证：$O_{AB}O_{DE}$、$O_{BC}O_{EF}$、$O_{CD}O_{FA}$、$OX$共点．\vfill\ex $\triangle ABC$的外心为$O$．$D$为$A$在$BC$上的垂足，$P$为$AD$上一点．$P$在$CA$、$AB$上的垂足分别为$E$、$F$，$D$在$EF$上的垂足为$T$．直线$AO$和圆$(ABC)$再次交于点$A'$，直线$A'D$和圆$(ABC)$再次交于点$R$．点$Q$在直线$AO$上，且满足$\angle ABP=\angle QBC$．求证：$D$、$P$、$T$、$R$四点共圆，且$DQ$与此圆相切．\vfill
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