第一天

1. 设是正整数，，，，，，是正实数，满足，且

   

   (1)证明：；
   (2)证明：．

2. 如图所示，在锐角三角形中，，是内心，是顶点所对的旁心．点，分别在三角形外接圆的劣弧，上，满足．点在的延长线上，满足．证明：直线平分线段．

3. 求最小的正整数，使得可将的方格表中的每个小方格染为红、黄、蓝三种颜色之一，满足以下三个条件：
   (1)每种颜色的小方格数目相同；
   (2)若某行中有红格，则该行中必有蓝格，且无黄格；
   (3)若某列中有蓝格，则该列中必有红格，且无黄格．

4. 我们称一个正整数数列是CGMO数列，如果为严格递增的．并且对任意整数，是在所有大于的正整数中满足以下条件的最小数：存在的一个非空子集，使得为完全平方数． 证明：存在常数，，使得对任意一个CGMO数列 ，存在正整数(依赖于这个数列），满足对任意整数，有．

第二天

5. 证明：从集合中任取个(可以相同的)数后，必可将其中个数适当地记为，，，使得关于的同余方程有整数解．
6. 设是一个有限集合，是的所有子集构成的集合．对任意函数，证明：

这里表示有限集合的元素个数．

7. 如图所示，在锐角中，，是外心，点关于的对称点为，点关于的对称点为．是内部一点，满足，．点，分别在线段，上，满足，．证明：，，，，五点共圆．

8. 设，是正整数，定义

证明：存在次整系数多项式，满足，并且的个系数均为正整数．