代数 2021-12-13 426 字

16道用数学归纳法证明的不等式

程国根 · 微信公众号「恩次方根」

用数学归纳法证明下列不等式：

（柯西不等式）设和是两个实数列，则
（权方和不等式）
（闵科夫斯基不等式）
（平方平均不等式）
（琴生不等式）假设时定义在上的凸函数，实数，对所有非负实数，，则有
（推论）若对于某种平均运算（算术，几何，调和等），当时有，则对一般的，有

（1992年APMO） 令是一个数列，对于所有的，满足证明：对于每个正整数，有
（1988年CMO） 在有限项的实数列中，如果有一段数的算术平均数大于1988，那么我们把这段数叫做一条“龙”，并把称为这条龙的“龙头”（如果某一项，那么单独这一项也是龙）．假定数列中至少存在一条龙，证明：数列中全体可以作为龙头的项的算术平均数也必定大于1988．
（2006年CMO） 实数列满足

证明不等式：

（2009年CTST） 给定整数，求具有下述性质的最大常数：若实数序列满足
则有
（2013年CTST） 设整数，，是非负实数．证明：
设，求证：
证明对任何正整数，．
（牛顿不等式）设为非负实数. 表示第个初等对称多项式，，则
设 , , , . 证明：对任意正整数，都有 .
已知数列满足，()．证明：存在实数，使得对任意的正整数，有
设 , 证明: 对任意正整数 , 有

设 , 证明:

设为非负实数, 证明:

已知正数满足 , 证明:

设是正实数, 且满足 , 证明:

不等式解题研究

在公众号查看原文 ↗ 点公式可复制源码

留言

解法、疑问、勘误都可以说。公式用 LaTeX：行内 $…$ ，整行 $$…$$。

留言区还没开。想聊这道题，可以点上面的「在公众号查看原文」，到公众号那边留言。