第一天

1. 设为正整数，高师傅有种不同口味的冰激凌，每种口味有一个大杯装和一个小杯装．他把个冰激凌杯摆成两行，每行的个冰激淋杯在同一个托盘上．高师傅希望托盘是彩色的，所以他对冰激凌杯作出如下安排：

• 每行包含所有口味的冰激凌；
• 每列有大小不同的冰激凌杯．
  在上述条件下，求高师傅的排法总数．

2. 设为实系数多项式．求证的根不全为实数．

3. 设和为正整数，且满足和的最大公约数为．求证：整除．

4. 在中，点和均在线段上，且满足．作点使得，．作点使得，．求证：．

5. 对每个正整数，设为的正约数个数，为的所有正约数之和．求所有函数：，使得对任意正整数，都有

第二天

6. 在中，作点使，且和位于直线的同侧．作点使，且和位于直线的异侧．若和相似，证明：的圆心位于的外接圆上．

7. 设正实数列，，满足对任意，都有

   

   求证：或．

8. 在锐角中，．设点为的中点，点为点在上的垂足．点为点关于直线的对称点．上异于点的一点满足．求证：点为的内心．

9. 求所有正整数列，，，使得对任意正整数，都有

10. 设为正偶数，Alice和Bob进行以下游戏．在游戏开始前，Alice选取一个由个整数组成的集合，并将它告诉Bob．然后从Bob开始，两人轮流进行操作，选择一个未被选择过的，然后将赋值为或．当，，，的值均被确定下来时，游戏结束，计算出 的值．
    求的最小值，使得无论Bob如何操作，Alice总能保证．