2023年日本初中数学奥林匹克（决赛）

在锐角中，，，为其外接圆．设和分别为以、为圆心，且过点的圆．设和、和、和分别交于点、、（均异于点）．求证：和相似．

黑板上写有个不同的正实数，从这些数字中选择两个不同的数字和，并计算的值．若一共有个不同的取值，求的最小值．

设为正整数．起初，将从到的所有正整数不重复地填入的网格的每一个方格中．接下来，选择了一些没有公共边的方格，将这些方格中的所有整数相加，结果即为的得分．求最大的正整数，使得不论如何填入数字，总能使自己的得分不小于．

求所有的正有理数组，使得，，均为整数．

在中，设为其外接圆，为边的中点．过的一条直线与和分别交于点和点，且、、三点顺次排列，和不重合．设为线段的中点，直线和相交于点（异于、）．求证：的外接圆与直线相切．