2023年中国台湾IMOC组合组

\section*{2023年中国台湾IMOC}\flushright 程国根\quad 译\section*{组合组}\setcounter{ex}{0}\ex 桌子上有$n$张卡片拍成一列，每张卡片上写有一个正实数．LTF和Sunny进行一个游戏，从LTF开始，他们轮流拿走一张处于两端的卡片，最后所拿卡片上的数字之和较大者获胜．求所有的正整数$n$，使得不论卡片上写有什么数字，LTF总能阻止Sunny获胜．\vfill \ex 一座正方形房子被分割为$n\times n$的网格，其中每个单元格都是一个房间，每两个相邻的房间之间都一扇门相连接．这些门中有正常的，也有颠倒的．如果USJL走过一扇颠倒的门，他会变成倒立的USJL，反之亦然．USJL需要选择一个房间作为起点，然后不重复地经过每一个房间．在完成后，如果USJL是倒立的，则他会永远被困在房子里．证明：USJL总能逃脱这个房子．\vfill \ex 图$G$有$n\ge 2$个顶点．求最大的正整数$m$，使得下面两个命题总有一个成立：(1)存在一个边数为$k\ge m$的圈；(2)存在一个顶点数为$m$的独立子图．\vfill \ex 画鬼脚是一个在一些竖直线和水平线上进行的游戏．玩家从一条竖直线的顶部开始，然后向下走，如果遇到水平线，必须穿过一条水平线．这里的水平线均夹在两条竖直线之间．定义图层是一些具有相同高度的水平线，并且没有重复的端点．求图层的最小个数，使得能从竖直线顶部的$(1, 2, \cdots, n)$出发，能达到底部的任意一个排列$(\sigma_1, \sigma_2, \ldots, \sigma_n)$．\vfill \ex 在一个$2023\times 2023$的方格表中，不重复地填入数字$1$,$2$,$\cdots$,$2023^{2}$．求最大的整数$M$，使得存在一种填数方式，其中任意两个相邻方格中的数字，它们的差都至少为$M$．\\注：这里认为方格表第$1$列和第$2023$列，第$1$行和第$2023$行是相邻的，即称方格$(x_{1},y_{1})$和$(x_{2},y_{2})$相邻，当且仅当$x_{1}=x_{2}$，$y_{1}-y_{2}=\pm 1\pmod{2023}$，或$y_{1}=y_{2}$，$x_{1}-x_{2}=\pm 1\pmod{2023}$．\vfill \ex 给定整数$n\ge 3$．在黑板上写有数字$1,2,\cdots,n$．每一次操作，可以选择黑板上的两个数字$x,y$擦去它们，并写上$x+y$和$|x-y|$．求所有整数$X$，使得可以在有限次操作后，将黑板上的数字全部变为$X$．\vfill