赛题翻译
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2024年北欧数学奥林匹克
公众号原标题：2024年北欧数学奥林匹克——中文翻译
2024年北欧数学奥林匹克
程国根 译
1. 记$T(a)$为$a$的数码和．求所有正整数$R$，使得存在正整数$n$，满足$\frac{T(n^2)}{T(n)}=R$．
2. 四边形$\mathcal{Q}_{1}$四边的中点共圆．求证：存在圆内接四边形$\mathcal{Q}_{2}$，其四边长和$\mathcal{Q}_{1}$的相等，且有两个相等的内角．
3. 求所有函数$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$，使得对任意$x,y\in\mathbb{R}$，都有$$f(f(x)f(y)+y)=f(x)y+f(y-x+1).$$
4. Alice和Bob进行一个游戏．首先，Alice做一个正整数集的划分$\mathcal{C}$（可以为无限集），使得每个正整数恰属于$\mathcal{C}$中的一个集合．然后Bob进行有限次以下操作：取一个未被选择过的集合$S\in\mathcal{C}$，设$D$为由所有能整除$S$中至少一个元素的正整数组成的集合．然后在$\mathcal{C}$中加入集合$D \setminus S$（可能是空集）．如果在Bob完成所有操作后，$\mathcal{C}$中存在两个相等的集合，那么Bob获胜；否则，Alice获胜．问：谁有必胜策略？（译者注：本题中$\mathcal{C}$应为可重集）
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\section*{2024年北欧数学奥林匹克}\begin{flushright} 程国根\quad 译\end{flushright}\ex 记$T(a)$为$a$的数码和．求所有正整数$R$，使得存在正整数$n$，满足$\frac{T(n^2)}{T(n)}=R$．\vfill\ex 四边形$\mathcal{Q}_{1}$四边的中点共圆．求证：存在圆内接四边形$\mathcal{Q}_{2}$，其四边长和$\mathcal{Q}_{1}$的相等，且有两个相等的内角．\vfill\ex 求所有函数$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$，使得对任意$x,y\in\mathbb{R}$，都有$$f(f(x)f(y)+y)=f(x)y+f(y-x+1).$$\vfill\ex Alice和Bob进行一个游戏．首先，Alice做一个正整数集的划分$\mathcal{C}$（可以为无限集），使得每个正整数恰属于$\mathcal{C}$中的一个集合．然后Bob进行有限次以下操作：取一个未被选择过的集合$S\in\mathcal{C}$，设$D$为由所有能整除$S$中至少一个元素的正整数组成的集合．然后在$\mathcal{C}$中加入集合$D \setminus S$（可能是空集）．如果在Bob完成所有操作后，$\mathcal{C}$中存在两个相等的集合，那么Bob获胜；否则，Alice获胜．问：谁有必胜策略？\textbf{（译者注：本题中$\mathcal{C}$应为可重集）}\vfill
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