相关链接：2021年马其顿数学奥林匹克——中文翻译

2021年马其顿初中数学奥林匹克

1. 在今年的奥林匹克竞赛中，有一些学生是朋友（朋友关系是相互的），也有一些学生不是朋友．不论将这些学生怎样分到两个考场，总有两个朋友在不同的考场．令为一个固定的学生，求证：一定存在两个学生和，使得中恰好有两对朋友．
2. 设为一个圆外切四边形，其内切圆与边、分别切于点、．求证：以为直径的圆过和的交点．
3. 求所有正整数和素数满足

   
4. ，，为满足的正实数．求证：

   
5. 设为锐角三角形，点和分别在和上，满足．和分别为和的内心，为和的外接圆的另一交点．求证：．